Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les positions relatives de droites

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Droites sécantes et parallèles dans le plan

Niveau de cette page : essentiellement la classe de seconde.

Vous avez appris ce qu’est une droite dans un plan repéré. Vous savez comment la tracer à partir de son équation et réciproquement, vous savez déterminer son équation réduite à partir de sa représentation graphique. Bravo. Maintenant, sachez que les droites ne sont pas toujours solitaires. Ces choses-là aiment se retrouver entre elles pour batifoler dans un plan…

Droites sécantes

Les droites ne sont rien d’autre qu’une infinité de points qui se suivent. Comme ils se trouvent dans un plan repéré, ces points ont des coordonnées. Lorsque deux droites se croisent, c’est en un point et un seul. Il existe donc une unique valeur de x pour laquelle les deux droites ont une même valeur y. Cette déduction doit vous apparaître comme étant d’une imparable logique.

Il est évident que deux droites horizontales ne seront jamais sécantes et que deux droites verticales ne feront pas mieux. Il est tout aussi évident qu’une droite horizontale et une droite verticale se croisent au point dont les coordonnées sont données directement par leurs équations : ainsi la droite verticale D d’équation x = 2 et la droite horizontale D’ d’équation y = 6 se croisent en un point de coordonnées (2 ; 6).

Il n’est guère moins facile de déterminer le point où se croisent une droite verticale V et une droite oblique d’équation réduite y = ax + b. Il suffit de remplacer x par la valeur prise par V. Par exemple, cherchons où se croisent la droite d’équation x = 2 (en rouge ci-dessous) et sa consœur d’équation y = -x + 5 (représentée en vert). Bien sûr, on sait que l’abscisse du point est 2. Remplaçons. y = (-1) × 2 + 5 = 3. Le point d’intersection a pour coordonnées (2 ; 3).

droites

Déterminez vous-même le point d’intersection entre les droites rouge et jaune…

Soit à présent une droite oblique qui coupe une droite horizontale. À quel endroit ? Supposons que l’équation de cette dernière est y = 6 (ci-dessus en bleu) et que celle de l’oblique est y = -x + 5 (encore la verte). On en déduit sans mal que 6 = -x + 5. La résolution de cette petite équation nous conduit à x = -1. Le point d’intersection a pour coordonnées (-1 ; 6). Nous le vérifions ci-dessus.

Pour savoir en quel point deux droites obliques sont sécantes, il faut poser un système de deux équations à deux inconnues.

Exemple : les droites verte et orange se croisent en un point dont les coordonnées vérifient simultanément les deux équations (y = x + 5 et y = ½ x + 1). Le système est très facile à résoudre par substitution. On cherche d’abord x puis y.

système

Il apparaît que x = 8 / 3 et par conséquent y = 7 / 3. On le vérifie plus ou moins facilement sur le graphique (voir un autre exemple en page familles de droites).

Si le système n’admet pas de solution, c’est que les deux droites sont parallèles. S’il en existe une infinité, les droites sont confondues.

La technique de détermination des intersections de droites permet notamment de trouver pour quelle valeur deux fonctions affines sont égales.

Droites parallèles

Deux droites d’équation y = ax + b et y = a’x + b’ sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur (a = a’) et si ≠ b’ (si bb’ elles sont confondues).

Attention, dans certains énoncés perfides, vous trouverez l’équation d’une droite avec un coefficient directeur exprimé sous forme fraction et l’équation d’une autre droite avec un coefficient directeur exprimé sous forme décimale. Vérifiez s’il s’agit ou non du même réel !

Les vecteurs directeurs de deux droites parallèles sont colinéaires.

Alignement

Comment démontrer que trois points A, B et C sont alignés ? Il suffit d’établir que les droites (AB) et (BC) ont le même coefficient directeur. Comme elles ont un point commun, elles ne sont pas parallèles mais confondues (voir par exemple l'exercice de la page théorème du trapèze)

Hors programme de seconde

Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1. Illustration ci-dessous, où l’équation de la droite bleue est y = -0,5x + 4 et celle de la rouge est y = 2x + 1 (réalisation sur Geogebra) :

droites perpendiculaires

 

sécantes

 

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