Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Le plan dans l'espace

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Équation d'un plan et calcul vectoriel dans l'espace

En économie, la 3D existe depuis bien plus longtemps que dans nos téléviseurs. Mais il faut connaître quelques rudiments mathématiques pour l'appréhender. Une représentation graphique dans l’espace peut être celle d’une fonction à deux variables, c’est-à-dire une surface courbe qui matérialise la relation existant entre une grandeur et deux autres (par exemple une quantité produite, fonction d’une quantité de travail humain et d’une durée de temps-machine). La surface la plus simple est plane. Elle est à la surface courbe ce que la droite est à la courbe en 2D. Elle peut représenter une « contrainte », par exemple un niveau de production qui ne peut être dépassé.

D’abord, quelques notions de calcul vectoriel dans un espace à trois dimensions. Deux vecteurs sont colinéaires si les coordonnées de l’un sont un multiple des coordonnées de l’autre et trois vecteurs sont coplanaires si les coordonnées de l’un sont une combinaison linéaire des coordonnées des deux autres. À titre d’exemple, les vecteurs u (1 ; 2 ; 4), v (3 ; 5 ; -1) et w (5 ; 9 ; 7) sont coplanaires puisque w = 2u + v.

Les coordonnées d’un vecteur sont uniques et, à partir de deux points, elles sont obtenues grâce au même mécanisme que dans R². Idem pour obtenir le milieu d’un segment ou une distance entre deux points. L’orthogonalité se démontre dans un cadre de géométrie pure (voir page droites) ou à l’aide des coordonnées des vecteurs : soit u(x ; y ; z) et v(x’ ; y’ ; z’), les vecteurs u et v sont orthogonaux si xx’ + yy’ + zz’ = 0.

Le plan

Dans un espace à deux dimensions muni d'un repère, une droite non parallèle à l'axe des ordonnées illustre une fonction affine (voire linéaire ou constante). L’expression de celle-ci peut prendre la forme d’une équation cartésienne : ax + by + c = 0. Dans un espace à trois dimensions muni d'un repère sur trois axes gradués (abscisses, ordonnées et cotes), les représentations graphiques ne sont pas toujours simples. Celle des points, par exemple, nécessite l’indication des traits de construction pour ne pas laisser l’impression d’un ciel étoilé où l’on ignore si telle étoile est plus ou moins éloignée du regard que telle autre. Le plan a pour équation ax + by + cz + d = 0 et sa représentation se limite souvent à un triangle (sauf s’il est parallèle à l’un des trois axes). Les trois points du triangle sont ceux du plan qui sont « traversés » par les axes. Une inégalité, large ou stricte, de type ax + by + cz + d > 0 définit un demi-plan.

Un plan dans l’espace est engendré par deux vecteurs directeurs. Les notions de calcul vectoriel rappelées ci-dessus sont donc applicables aux plans dont on connaît les équations.

Deux plans sont soit parallèles soit sécants. Ils sont parallèles si = λa’, b = λb’ et c = λc’ (on retrouve la démonstration de colinéarité entre vecteurs). Si l’équation du plan ne comprend que deux coordonnées, celui-ci est parallèle à l’axe de la coordonnée manquante (idem qu’en deux dimensions où une droite d’équation = a est parallèle à l’axe des abscisses et = a est parallèle à l’axe des ordonnées).

Dans le cadre d’un repère orthonormé, deux plans sont perpendiculaires si aa’ + bb’ + cc’ = 0. On appelle vecteur normal à un plan un vecteur qui est orthogonal à ce plan. Si l’équation du plan est ax + by + cz + d = 0 le vecteur (a ; b ; c) est normal à ce plan.

Exercice

Cet exercice est un extrait de l’épreuve du bac ES de septembre 2009 (France métropolitaine) pour les élèves ayant choisi la spécialisation « maths » (mais la 3D n'est plus au programme).

L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i, j, k). Sur le dessin joint en annexe, on a placé les points A(0 ; 2 ; 0), B(0 ; 0 ; 6), C(4 ; 0 ; 0), D(0 ; 4 ; 0) et E(0 ; 0 ; 4). Soit P le plan d’équation 3y + z = 6. Il est représenté par ses traces sur les plans de base sur le dessin joint en annexe. Démontrer que les points C, D et E déterminent un plan que l’on notera (CDE) puis vérifier que le plan (CDE) a pour équation x + y + z = 4.

Il faut montrer que deux parmi les trois vecteurs qui « relient » les points ne sont pas colinéaires. Prenons CD et DE. Le premier a pour coordonnées (-4 ; 4 ; 0) et le second (0 ; -4 ; 4). Il est évident qu’aucun scalaire ne peut en multiplier un pour obtenir l’autre. La vérification de l’équation du plan est simple puisqu’il suffit de constater que chacun des trois points vérifie l’équation. Par exemple, pour C, nous avons 4 + 0 + 0 = 4.

2.a) Justifier que les plans P et (CDE) sont sécants. On note Δ leur intersection.
b) Sans justifier, représenter Δ en couleur sur la figure en annexe.

Pour justifier que deux plans sont sécants, il faut démontrer qu’ils ne sont pas parallèles et pour cela montrer que deux vecteurs normaux à ces plans ne sont pas colinéaires. Ces derniers sont (0 ; 3 ; 1) pour P et (1 ; 1 ; 1) pour (CDE). Il est là aussi évident qu’il n’existe aucune proportionnalité. Donc, P et (CDE) sont sécants. Certes, mais où ? Il faut trouver deux points par lesquels passe la droite. Il suffit de regarder la figure pour constater que les points (0 ; 1 ; 3) et (2 ; 2 ; 0) conviennent. Ci-dessous, les constructions sont celles qui figurent dans l’énoncé, la droite Δ est en rouge et les deux points qui ont permis sa construction sont indiqués par des flèches.

1ères constructions

3) On considère les points F(2 ; 0 ; 0) et G(0 ; 3 ; 0). On note Q le plan parallèle à l’axe (O ; k) et contenant les points F et G.
a) Placer sur la figure les points F et G. Sans justifier, représenter le plan Q par ses traces sur les plans de base (…).
b) Déterminer les réels a et b tels que ax + by = 6 soit une équation du plan Q.

Pour le a), voir plus bas les traits verts. La question b) n’a rien de compliqué. Il faut que F et G vérifient l’équation de Q. Le point F permet de déterminer que a = 3 et G permet de trouver que b = 2. Donc, = 3x + 2y = 6.

4) l’intersection des plans (CDE) et Q est la droite Δ’. Sans justifier, représenter Δ’ (…).

Il ne s’agit là que d’une lecture graphique. On remarque que les points (0 ; 3 ; 1) et (2 ; 0 ; 2) font partie de cette intersection. Il suffit de les relier (en orange).

plans

5) On considère le système de trois équations à trois inconnues suivant :

système

Résoudre ce système. Que peut-on alors en déduire pour les droites Δ et Δ’ ?

La résolution du système montre que x = 1 et y = z = 1,5. Comme ces équations sont celles de nos trois plans et qu’il n’existe qu’une solution, cela signifie que les plans se croisent en un point. Et comme les deux droites correspondent à deux intersections de plans, le point (1 ; 1,5 ; 1,5) est celui ou Δ et Δ’ se croisent.

 

plans parallèles

 

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