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(et fondements mathématiques)

Le parallélisme

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Parallélisme dans le plan et l'espace

Notion essentielle en géométrie, le parallélisme est une notion plus ou moins connue de tous. Cette page a été écrite à l’attention des élèves de seconde qui souhaitent améliorer leur expertise là-dessus…

Dans le plan

Le parallélisme dans un espace à deux dimensions est enseigné au collège : deux droites sont strictement parallèles si elles n’ont aucun point commun (elles ne sont pas sécantes). On précise « strictement » car si elles sont confondues, elles ont une infinité de points communs et c’est quand même une forme de parallélisme.

En géométrie pure, les démonstrations de parallélisme telles qu’elles sont soumises à l’épreuve du brevet utilisent immanquablement la réciproque du théorème de Thalès (ou de son cas particulier, le théorème des milieux).

Deux vecteurs colinéaires sont soit confondus soit strictement parallèles.

En géométrie analytique, on se situe dans un plan muni d'un repère normé. Deux droites sont parallèles si les coefficients directeurs de leurs équations réduites sont égaux. Par exemple, les fonctions affines f(x) = 2x + 1 et g(x) = 2x – 3 se traduisent graphiquement par deux droites parallèles.

Dans une formulation mathématique, « est parallèle à » s’écrit //

Dans l’espace

Dans l’espace se situent des droites mais aussi des plans. Comment font-ils pour ne jamais se rencontrer ?

Les définitions ne changent pas : deux plans, deux droites ou un plan et une droite sont strictement parallèles s’ils n’ont aucun point commun (mais deux droites doivent en plus être coplanaires). Tout est dit.

Pour démontrer que deux plans sont parallèles, il faut soit montrer que chacun d’eux est parallèle à un troisième, soit que le premier plan contient deux droites sécantes qui sont parallèles à deux droites sécantes contenues dans le second plan (option utilisée dans l’exercice ci-dessous).

Pour démontrer qu’une droite est parallèle à un plan, on montre qu’elle est parallèle à une droite contenue dans ce plan.

Pour démontrer que deux droites sont parallèles dans l’espace, retenons trois astuces :

Premièrement, on peut montrer qu’elles sont parallèles à une troisième droite (démonstration utilisée dans l’exercice ci-dessous).

Deuxièmement, on peut montrer qu’un plan qui coupe deux plans parallèles implique deux intersections qui s’avèrent être deux droites parallèles. Illustration :

plans parallèles

Cette propriété est notamment employée dans l'exemple de la page section d'un solide.

Troisièmement, on s’abrite sous le théorème du toit. Si deux plans sécants contiennent chacun une droite et que ces deux droites sont parallèles, alors la droite formée par l’intersection des plans leur est aussi parallèle. Ça fonctionne aussi si les droites ne sont pas contenues dans les plans mais leur sont parallèles.

Exercice

Soit l’octaèdre régulier IJKLMN inscrit dans le cube ABCDEFGH, comme indiqué sur la figure ci-dessous. Le but de l’exercice sera de démontrer le parallélisme entre deux faces de l’octaèdre (mettons par exemple JMN et IKL).

octaèdre

Indications : rappelons que les sommets de l’octaèdre se trouvent sur les centres de gravité de chacune des faces du cube. Par exemple, N est le milieu de [FH] (il est donc probable que nous nous servirons du théorème des milieux !).

Démarche

La démarche consiste d’abord à montrer le parallélisme entre deux arêtes de l’octaèdre qui sont contenues dans les deux plans JMN et IKL. Choisissons [JN] et [IL]. Pour cela, nous allons montrer qu’elles sont toutes deux parallèles à une troisième droite.

Démontrons que la droite (JN) est parallèle à (CH) : opération facile puisque c’est l’application pure et simple du théorème des milieux (tiens, je vous l’avais bien dit…).

N est le milieu de [FH] et J est le milieu de [CF], donc (JN) // (CH).

Démontrons à présent que [IL] est aussi parallèle à [CH]. Là encore, nous allons nous servir du cube et du théorème des milieux. L est le milieu de [AH] et I est le milieu de [AC]. Donc  (IL) // (CH). Il s’ensuit que (JN) // (IL).

On démontre de la même façon, c’est-à-dire en utilisant le cube, que deux autres arêtes contenues dans les plans JMN et IKL sont parallèles, par exemple celles qui définissent les droites (MN) et (IK) mais ça fonctionnerait parfaitement avec (JM) et (KL).

Et on arrive au clou du spectacle. Dans le plan (JMN) se situent deux droites sécantes (JN) et (JM) et elles sont parallèles aux droites sécantes (IL) et (IK) qui définissent quant à elles le plan (IKL). Donc, (JMN) et (IKL) sont bien parallèles.

 

parallèles

 

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