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(et fondements mathématiques)

L'octaèdre régulier

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Exercices sur un polyèdre (niveau seconde)

L’octaèdre est un polyèdre à huit faces. Lorsqu'il est régulier, ses faces prennent la forme de triangles équilatéraux et il a six sommets et douze arêtes. C’est alors l’un des solides de Platon.

Il ne s’agit pas d’explorer les caractéristiques de l’octaèdre, ce qui serait bien loin de l’objet de ce site web. Le but est simplement de proposer des exercices de géométrie dans l’espace aux les élèves de seconde afin de s’entraîner à la construction en trois dimensions et à la mise en équations d’un problème.

Exercice 1

Représenter un octaèdre en perspective cavalière avec un angle de 45° et un rapport = 0,4 environ.

Corrigé

Détaillons pas à pas la construction de l’octaèdre régulier en perspective cavalière.

D’abord, il faut construire le cube dans lequel l’octaèdre va s’insérer, puis indiquer le centre de chaque face. Ci-dessous, ils apparaissent au croisement des diagonales rouges.

construction

Ils seront les six sommets de l’octaèdre. Il faut donc les relier entre eux pour faire apparaître les arêtes du solide.

octaèdre

Il ne reste plus qu’à gommer les traits de construction et à offrir à notre œuvre un cadre qui lui est digne.

polyèdre

NB : si vous souhaitez voir des patrons d’octaèdre régulier :

http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/octaedre.htm

Exercice 2

Supposons que l’octaèdre ci-dessus a été construit à partir d’un cube d’un mètre de côté. Quel est son volume ?

Corrigé

Ce solide se présente comme la juxtaposition de deux pyramides régulières réunies par leurs bases. Calculons l’aire d’une base, qui correspond à une coupe de l’octaèdre en son milieu. Cette base est bien sûr un carré puisque ses quatre sommets sont les milieux des côtés d’un carré.

carrés

Combien de cm mesurent chaque côté de la base ? Nous remarquons que ce second carré génère quatre triangles rectangles isocèles identiques dont les deux côtés égaux mesurent chacun 50 cm. Appliquons le théorème de Pythagore.

Soit x la longueur d’un côté de la base de la pyramide (hypoténuse). C'est donc aussi la longueur de chaque arête du polyèdre.

côté de la base

Par conséquent, l’aire de la base est égale à :

aire de la base

Nous avons vu que les deux sommets de pyramide étaient confondus avec deux centres de faces opposées du cube. Par conséquent, la hauteur d’une pyramide est de 50 cm et le volume d’une pyramide est de :

volume

Le volume de l’octaèdre est donc du double, soit 166 666,67 cm³ (c’est-à-dire moins de 17 % du volume du cube).

NB : plus généralement, le volume d’un octaèdre régulier est égal à :

volume d'un octaèdre régulier

En complément, vous trouverez un autre exercice sur un octaèdre en page parallélisme (niveau seconde).

 

huit faces

 

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