Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La mesure principale

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Division euclidienne et mesure principale

Cette page s’inscrit dans le programme de maths de première S, chapitre trigonométrie. Sa compréhension suppose que vous maîtrisez la mesure des angles orientés et l'enroulement du cercle trigonométrique (sinon, ça risque d’être compliqué).

Vous savez qu’à un angle formé par deux vecteurs est associée une infinité de mesures en radians. Si l’une des mesures est α, alors toutes les mesures sont de la forme α + 2, k étant un entier relatif.

La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure qui est comprise dans l’intervalle ]-π ; π]. C’est donc celle qui est lisible directement sur le cercle trigonométrique.

Avant d’aller plus loin, rappelons ce qu’est une division entière. D’accord, elle est au programme de CM1, mais il est parfois utile de se replonger dans les souvenirs de notre tendre enfance.

La division entière, ou euclidienne, est l’opération qui divise un entier appelé dividende par un autre entier appelé diviseur. Le résultat entier est le quotient. L’entier qui est le reliquat de la division est le reste (voir page arithmétique).

Exemple : 40 (dividende) divisé par 6 (diviseur) donne 6 (quotient) plus un reste de 4. On ne peut pas l’écrire sous forme 40 / 6 = 6 + 4 car cela prêterait à une horrible confusion.

Avec la plupart des calculatrices, soit vous devez créer ou télécharger un programme, soit vous opérez en deux temps.

Pour déterminer une mesure principale à partir d’une autre mesure d’angle, voyons deux techniques très proches. Vous choisirez celle qui vous semble la plus pratique.

Première technique : il vous faut procéder à la division entière par 2π. Le reste permet de trouver la mesure principale.

Par exemple, trouvons celle de l’angle suivant :

exemple

La division par 2π donne 345 / 12, soit 28,75. Donc le quotient est 28. Or, 28 × 12 = 336. D'où un reste de 345 – 336 = 9. Posons :

division euclidienne

Une mesure est donc 9π / 6, c’est-à-dire 3π / 2. Ce n’est pas la mesure principale puisque 3 / 2 > 1 mais il est facile de terminer le travail. Si l’on fait un tour de 3π / 2 sur le cercle trigonométrique, c’est la même chose que si l’on parcourait -½ tour. Évident. Donc la mesure principale est -π / 2.

Seconde technique : vous pouvez diviser directement 345 par 6, et non par 12. On trouve 57,5. L’entier le plus proche est 58 (règle de l’arrondi). 58 x 6 = 348. On a « dépassé » de 3 le 345 qui était visé.

technique 2

On élimine le quotient 58π, qui est un nombre pair (il correspond à un nombre entier de tours du cercle trigonométrique). Il nous reste -3π / 6, donc -π / 2.

Autre exemple. Quelle est la mesure principale de l’angle mesurant (47 / 3)π ?

Essayons la seconde technique. D’abord, il faut diviser 47 par 3. La division euclidienne donne 15 et il reste 2. Donc :

mesure principale

En l’occurrence, le cercle a été complètement parcouru sept fois et demi, plus 2π / 3. On élimine les tours complets et il ne reste que π + (2π / 3). Cette fois-ci, il subsiste π puisque le quotient de la division entière était impair.

Il n’en reste pas moins que nous ne sommes pas parvenu à une mesure principale puisque nous nous situons au-delà de l’intervalle ]-π ;π]. En fait, comme les angles π et -π sont les mêmes, il suffit de remplacer π par -π et le tour est joué.

Donc -π + (2π / 3) = -π / 3

Exercice 1

Déterminer les mesures principales de 500π, -5π et -80π / 3

Exercice 2

Quelle est la mesure principale de 100 ?

Corrigé 1

La mesure principale de 500π est 0, comme d’ailleurs toutes les mesures de ±  avec k = nombre pair. La mesure principale de -5π est π, comme toutes les mesures de +/- avec k = nombre impair. Enfin, pour connaître celle de -80π / 3, divisons par 2π (première technique). Soit -80 / 6. Quotient : 13. Reste : 2.

mesure principale

La mesure principale est donc -2π / 3.

En divisant directement, on obtient la décomposition suivante :

mesure principale

Nous remarquons que dans le premier élément, π est multiplié par un nombre impair. Ce terme n’est donc pas purement supprimé et nous conservons –π. Nous vérifions alors avec soulagement que la mesure principale est :

mesure principale

Corrigé 2

Ce type d’exercice est moins habituel mais il est fort simple.

Si l’on divise 100 par π, on obtient environ 31,83. L’entier le plus proche est 32 (nombre pair). Donc 100 est égal à 32π moins un reste, qui est évidemment égal à 100 – 32π. Pour obtenir la mesure principale, il suffit d’éliminer 32π, qui correspond à 16 tours complets du cercle. Donc, mesure principale : 100 – 32π. On peut vérifier à la calculatrice que le réel obtenu se situe bien dans l’intervalle ]-π ; π]. En l’occurrence, il est d’environ -0,53.

 

tours de cercle

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés