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(et fondements mathématiques)

Une introduction à la géométrie analytique

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Repères, milieu, distance, parallélogramme

Cette page rappelle quelques notions basiques de géométrie. Elle reprend le début du chapitre de géométrie analytique du programme de seconde (milieu, distance et paralélogramme). La notion de repère est primordiale, non seulement en géométrie mais aussi dans l’étude des fonctions (voir page antécédents et images). En seconde, les notions de milieu, de distance et le parallélogramme réapparaissent souvent dans des exercices illustrant le chapitre sur les vecteurs.

Les repères

Le repère le plus simple (à une seule dimension) est une droite sur laquelle se situe un point O et munie d’une norme, c’est-à-dire d’une distance entre O et un point I que l’on retient comme unité de mesure. Donc, O vaut 0 et I vaut 1. Le couple (O,I) est le repère d’origine O de la droite. Mais cette droite est graduée. Si la distance entre O et M (un point quelconque de notre droite) vaut x fois celle qui existe entre O et I, x étant un réel, alors ce point M est unique (puisqu’on applique la distance dans le sens de la graduation si x > 0 et dans le sens contraire si x < 0). Ce réel x est appelé abscisse du point M.

Illustrons. Supposons un thermomètre exprimé en degrés Celsius pour lequel il existe une distance de 1 mm entre 0° et 1°. Le millimètre est la norme (le fabricant du thermomètre ne s’est pas amusé pas à séparer les valeurs 1° et 2° d'une distance différente). Si la température est de 20°, la limite du mercure se situe évidemment à 20 mm de l’origine O c’est-à-dire de 0°. Si la température chute à -10°, la limite du mercure se situe à 10 mm de 0° mais dans le sens contraire.

Il n’est pas très drôle, et surtout pas très utile, de faire des maths à partir d’une seule droite. Mais DEUX droites sécantes permettent de définir un plan en deux dimensions. Si ces deux droites sont utilisées comme des axes gradués, les amusements commencent.

Vous trouverez toutes les précisions utiles en page plan repéré.

On situe un point dans le plan muni d'un repère en lui associant un couple (x ; y), x étant l’abscisse et y l’ordonnée. Par exemple, les coordonnées des points ci-dessous sont A(-2 ; 3) et B(2 ; 1) :

points A et B

Le milieu

Pour calculer le milieu M d’un segment de droite entre deux points A et B, rien de plus simple puisque ses coordonnées sont la moyenne des abscisses de A et de B et la moyenne de leurs ordonnées. Donc :

milieu

Par exemple, soit A(-2 ; 3) et B(2 ; 1), alors le milieu du segment [AB] est le point M(0 ; 2).

milieu M

Voir l'exercice de la page théorème du trapèze.

La distance

La formule de la distance euclidienne a l'air compliquée mais elle se retient facilement. Dans un plan muni d’un repère orthonormé (sinon ça ne fonctionne pas), la distance entre un point A et un point B est :

distance

L’ordre entre A et B n’a aucune importance. De toute façon, une distance est positive. Non seulement c’est intuitif (la distance entre Lyon et Paris a la même nombre positif de kilomètres qu'entre Paris et Lyon) mais en plus ça se constate avec la formule puisqu’une racine carrée d'une somme de carrés est bien sûr positive. Notez que cette distance, ou longueur du segment, s’écrit sans parenthèses.

L’unité de mesure est la norme. En mathématiques pures, il n’y a pas d’unité spécifique mais si OI = OJ = 1 mètre, alors la distance entre deux points du plan est exprimée en mètres. Il faut s’en souvenir lorsque certains exercices sont des problèmes concrets.

Cherchons la distance AB.

distance

Nous constatons qu'il s'agit d'une hypoténuse. En vertu du théorème de Pythagore, son carré est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. En l'occurrence du carré de la distance entre yA et yB, donc (3 – 1)² = 4 et de la distance entre xA et xB, donc (2 – (-2))² = 16. Le carré de AB est donc égal à 4 + 16 = 20. Comme nous ne cherchons pas le carré de cette distance mais la distance elle-même, il est évident que la valeur cherchée est la racine carrée de 20.

Classiquement, en seconde, les calculs de distances permettent de définir des triangles (équilatéral, isocèle, rectangle ou non particulier). On s'en sert aussi pour montrer si un parallélogramme est ou non un rectangle (voir la page exercice de géométrie analytique à l'attention des élèves de seconde).

Le parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Quel que soit le type de repère utilisé, si l’on place un point M dans le plan, le quadrilatère qui a pour coordonnées O, YM (placé sur l’axe des ordonnées), M et XM (placé sur l’axe des abscisses) est un parallélogramme. Si le repère est orthogonal alors le quadrilatère ainsi formé est un rectangle, c'est-à-dire un parallélogramme à quatre angles droits.

Un des moyens de démontrer qu’un quadrilatère ABCD est un parallélogramme est de vérifier que les coordonnées du milieu de [AC] sont les mêmes que celles du milieu de [BD]. Les autres techniques figurant au programme de seconde utilisent les vecteurs (voir la règle du parallélogramme en page translation de vecteurs et l'exemple de la page vecteurs et coordonnées).

Si un parallélogramme ABCD a les mêmes distances AB = BC, alors il s’agit d’un losange. Si le parallélogramme réussit l’exploit d’être à la fois un rectangle et un losange, il s’agit d’un carré.

Les droites

Voir la page droites dans le plan.

 

repère

 

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