Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les formules trigonométriques

logo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Formules d'addition et de duplication (sinus et cosinus)

Les quelques formules de trigonométrie, qui peuvent être démontrées grâce aux propriétés des produits scalaires, sont des outils mathématiques bien commodes. Le niveau de connaissance requis pour la lecture de cette page est celui exigé en première S.

Au préalable, notons pour mémoire la propriété bien connue selon laquelle sin² x + cos² x = 1. Il est fréquent de l'utiliser dans les exercices de changement d'écriture et vous observerez en fin de page d'intéressants cas d'hybridation avec les formules...

Formules d'addition

cos (xy) = cos x cos y – sin x sin y

cos (– y) = cos x cos y + sin x sin y

sin (xy) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y

C'est l'expression de cos (– y) qui est habituellement démontrée car il est aisé de la visualiser à l'aide du cercle trigonométrique. Nous ne dérogerons pas aux vieilles habitudes.

cercle trigonométrique

Soit deux réeels a et b. Ils apparaissent sous forme d'angles dans la figure ci-dessus, associés aux points A et B du cercle trigonométrique.

Donc A(cos a ; sin a) et B(cos b ; sin b). Quant à (b – a), c'est la mesure de l'angle formé par les vecteurs OA et OB dont le produit scalaire peut être calculé à l'aide de deux formules.

D'abord la formule du cosinus. Rappelons que les normes de OA et de OB valent 1 puisque A et B appartiennent au cercle trigonométrique.

formule du cosinus

En effet, souvenez-vous que cos -x = cos x.

Ensuite, la formule analytique (produit scalaire = xx'yy'). Ici, ce sont les coordonnées de A et de B, donc cos a cos b + sin a sin b

Les deux formulations du même produit scalaire étant évidemment égales, nous obtenons bien cos (– y) = cos x cos y + sin x sin y

Formules de duplication

Ces formules sont peut-être moins aisées à retenir que les précédentes mais en cas souvenirs défaillants elles peuvent être retrouvées avec facilité.

1- sin 2x = 2 sin x cos x

2- cos 2x = cos² x – sin² x

Démontrons la première : sin 2x = sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x

Nous pouvons aussi utiliser l'égalité sin² x + cos² x = 1 pour présenter d'autres forumles de duplication. Ce qui fait beaucoup de formules à apprendre ou à savoir retrouver par démonstration !

3- sin 2x = 2 sin² x

4- cos 2x = 2 cos² x – 1

5- cos 2x = 1 – 2 sin² x

Par exemple, démontrons l'égalité 4 à partir de la 1 : cos 2 x = cos² x – (1 – cos² x) = cos² x – 1 + cos² x = 2cos² x – 1

Maintenant, deux challenges s'offrent à vous : apprendre les formules et savoir laquelle utiliser dans telle situation !

Voyons un exemple ultra classique, en l'occurrence déterminer le cosinus de π / 12.

La première étape est de faire apparaître des valeurs dont on connaît les sinus et cosinus, c'est-à-dire π / 2, π / 3, π / 4 ou π / 6. Parfois un énoncé vous met sur la piste.

pi/12 = p/3 - p/4

Nous obtenons une soustraction, ce qui nous oriente vers une formule... d'addition.

formule d'addition

À partir de là, il faut connaître le tableau...

 
0
π / 6
π / 4
π / 3
π / 2
sin
0
0,5
(racine de 2)/2
(racine de 3)/2
1
cos
1
(racine de 3)/2
(racine de 2)/2
0,5
0

pi/12 = rac2/4 x (1+rac3)

Si d'aventure vous cherchez le sinus de π / 12, vos travaux doivent vous conduire à :

sin(pi/12)=(rac2/4)(rac3-1)

Une soif d'exercices ? Rassasiez-vous en page exercices avec formules trigonométriques.

 

koala

 

© JY Baudot - Droits d'auteur protégés