Les quelques formules trigonométriques, qui peuvent être trouvées grâce aux propriétés des produits scalaires, constituent des outils mathématiques qui dépassent de très loin la seule trigonométrie.

La formule la plus célèbre est :

De plus, si l’on connaît la parité des fonctions trigonométriques, il vient immédiatement sin (-x) = -sin x et cos (-x) = cos x.

Les formules de duplication sont bien utiles, notamment dans la détermination d’une dérivée ou d’une primitive :

Formules d’addition :

Maintenant, nous pouvons envisager quelques petits exercices. On se cantonnera aux réels. Pour les  calculs avec des nombres complexes, je vous renvoie à la page formes trigonométriques des nombres complexes. Pour les calculs de dérivées, voir la page dérivées de fonctions trigonométriques.

Exercice 1

À quoi peut bien être égal l’expression cos 3x + 3 cos x ?

Proposition de corrigé :

Pour employer les formules, on doit manipuler le cosinus de 2x ou d’une somme. La priorité est donc de faire disparaître ce 3x disgracieux…

cos 3x + 3 cos x = cos (2x + x) + 3 cos x

On peut alors utiliser la première des formules d’addition.

cos 3x + 3 cos x = cos 2x cos x – sin 2x sin x + 3 cos x

Faisons intervenir les deux formules de duplication.

cos 3x + 3 cos x = (cos² x – sin² x)cos x – 2 cos x sin x sin x + 3 cos x

cos 3x + 3 cos x = cos³ x – sin² x cos x – 2 sin² x cos x + 3 cos x

cos 3x + 3 cos x = cos³ x – 3 sin² x cos x + 3 cos x

Supprimons les sinus grâce à la première formule (soit sin² = 1 – cos² x).

cos 3x + 3 cos x = cos³ x – 3(1 – cos² x) cos x + 3 cos x

cos 3x + 3 cos x = cos³ x – 3 cos x + 3 cos³ x + 3 cos x = 4 cos³ x

Exercice 2

Montrer que sin² (a + b) + cos² (a – b) = 1 + sin 2a + sin 2b.

Proposition de corrigé :

On utilise d’abord les formules d’addition dans le premier terme, soit :

(sin a cos b + sin b cos a)² + (cos a cos b + sin a sin b)²

Développons ces identités remarquables.

sin² a cos² b + 2 sin a cos b sin b cos a + sin² b cos² a + cos² a cos² b + 2 cos a cos b sin a sin b + sin² a sin² b

= sin² a cos² b + sin² b cos² a + cos² a cos² b + sin² a sin² b + 4 sin a cos a sin b cos b

Faisons apparaître des sin² a + cos² a pour les remplacer ensuite par 1.

= cos² b (sin² a + cos² a) + sin² b (cos² a + sin² a) + 4 sin a cos a sin b cos b

= cos² b + sin² b + 4 sin a cos a sin b cos b

= 1 + 4 sin a cos a sin b cos b

C’est au tour d’une formule de duplication d’intervenir.

 1 + (2 sin a cos a)(2 sin b cos b)

= 1 + sin 2a sin 2b

Le tour est joué.