Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les familles de droites

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Droites concourantes

Cette page est consacrée aux lieux de rendez-vous des droites. Il s’agit de points vers lesquels elles convergent de fort loin… Difficiles à trouver ? Non, le niveau de difficulté de cette page est celui d'une première S (bien que désormais hors programme).

Donc, plusieurs droites distinctes sont concourantes si elles sont sécantes en un point commun.

Géométrie dans le plan

Un petit exercice rapide pour introduire le sujet. Nous sommes en présence d’un bon vieux rectangle ABCD.

vecteurs

rectangle

Il faut montrer que les droites (EF), (GH) et (DB) sont concourantes.

Que notre figure soit un rectangle ou un parallélogramme quelconque ne change rien à l’affaire. Le milieu de [BD] en est le centre de gravité, ainsi que le milieu de [GH]. Donc, (BD) et (CH) sont concourantes en ce point. On démontre ensuite que EGFH est un parallélogramme puisque le vecteur EG est égal au quart de AB et idem pour HF, les deux étant de surcroît parallèles et donc que le milieu de [GH] est aussi le milieu de [EF]. Nos trois droites se croisent bien au même endroit.

Il est bien évident que si deux droites non parallèles sont concourantes, cette propriété n’est plus obligatoirement vérifiée s’il y en a trois.

Les propriétés de l'homothétie peuvent être mises à contribution pour démontrer que trois droites sont sécantes en un seul point.

Géométrie dans l’espace

Il existe toujours plusieurs possibilités pour montrer que des droites sont concourantes. On se passera d’exemple. Une famille de droites formées par les arêtes des faces latérales d’une pyramide est mentalement visualisable par le commun des mortels (elles se rejoignent au sommet).

Familles de droites

On se situe maintenant dans un plan muni d'un repère, à deux dimensions pour simplifier.

Là aussi, c’est à travers un exercice que l’on appréhendera une étonnante propriété.

Soit un réel m auquel est associée une famille de droites.

(m – 2)y = (m + 4)xm + 1

Ce qui est étonnant, c’est que quelle que soit la valeur de m, toutes les droites de la famille passeront par le même point. Prenons quatre valeurs. Si m = 0, nous avons l’expression de la fonction affine y = -2x – 0,5. Si m = 1, y = -5x – 2. Si m = -2, y = -0,5x + 0,25 et si m = 9, y = (13 / 7)x + (10 / 7).

Les droites représentatives sont tracées avec le logiciel Sine Qua Non :

famille de droites

Et où se situe A, point de rencontre familial ?

Facile, il suffit de retenir les expressions de deux droites et de poser un système de deux équations à deux inconnues. Prenons les deux premières.

système

On trouve x = -0,5 puis y = 0,5. Ce fameux point A a donc pour coordonnées (-0,5 ; 0,5). Il va de soi que l'on aurait aussi bien pu utiliser les équations cartésiennes des droites.

Vérifions que A fait TOUJOURS partie de la famille. Dans l'expression générale, on remplace x par -0,5 et y par 0,5. Ce qui nous donne :

(m – 2) × 0,5 = (m + 4) × (-0,5) + m + 1.

En simplifiant l'égalité, on obtient 0,5m – 1 = 0,5m – 1. Quel que soit m, c’est OK.

 

intersection

 

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