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(et fondements mathématiques)

Un exercice simple de géométrie analytique

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Identification d'un rectangle avec milieux et distances

La géométrie analytique donne le plaisir de s'entraîner sur des exercices de reconnaissance de figures. Parmi ceux-ci, les calculs de milieux et de distances permettent parfois de détecter la présence d'un rectangle, comme ce sera le cas ici (l'exercice est destiné aux élèves de seconde).

Nul besoin d’arriver en seconde pour savoir ce qu’est un rectangle. Pour démontrer que quatre points sont les sommets d'un rectangle, il existe plusieurs techniques. Rappelons les trois façons de le démontrer, connues depuis la troisième : soit on montre qu’un parallélogramme a ses deux diagonales de même longueur, soit on montre que ce parallélogramme possède UN angle droit (si un angle est droit, les trois autres le sont), soit qu'il s'agit d'un quadrilatère possédant quatre angles droits.

Exercice

Soit un plan muni d'un repère orthonormé. Soit quatre points de ce plan : A(-2 ; 2), B(4 ; 4), C(5 ; 1) et D(-1 ; -1).

1- Déterminer les coordonnées de M, milieu de [AC] et de M', milieu de [BD]. Conclure.

2- Calculer les distances AC et BD. Conclure.

3- Démontrer que ABCD est un rectangle en utilisant le théorème de Pythagore.

4- Tracer la figure.

Corrigé

1- M a pour coordonnées la moyenne des abscisses de A et de C et la moyenne de leurs ordonnées.

M

Le milieu M' de [BD] est…

M'

Les points M et M' sont confondus. [AC] et [BD] ont le même milieu. Donc ABCD est un parallélogramme.

NB : nous aurions également pu montrer que ABCD est un parallélogramme en utilisant les vecteurs.

2- Calcul des distances. Le repère étant orthonormé, nous avons :

distance AC

distance BD

Les longueurs des deux diagonales AC et BD sont les mêmes. Par conséquent, le parallélogramme ABCD est un rectangle.

3- Nous allons à nouveau démontrer que le parallélogramme ABCD est un rectangle mais cette fois-ci en prouvant qu’il comporte un angle droit. Montrons pour cela que ABD est un triangle rectangle.

distance AB

distance AD

La distance BD a déjà été calculée à la question précédente.

Nous remarquons que AD² + AB² = BD². Selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en A.

Le parallélogramme comporte donc un angle droit. ABCD est bien un rectangle.

Notons au passage que les distances AB et AD ne sont pas égales (le triangle n’est pas isocèle). Le rectangle ABCD n’est donc pas un carré.

Notons aussi qu’en partant de la réponse à la première question, nous savions que ABCD était un parallélogramme. Mais nous aurions aussi bien pu prouver que ABCD était un rectangle sans passer par là. Il suffisait d’étudier le triangle BCD et de montrer qu’il avait les mêmes dimensions que ABD. Deux triangles rectangles avec la même hypoténuse (en l’occurrence BD) forment évidemment un rectangle.

4- Figure

La figure ci-dessous est réalisée sur Geoplan. Vous trouverez un mode d’emploi de ce type de construction avec ce logiciel en page colinéarité.

rectangle

Question bonus

Calculer l’aire du rectangle ABCD (exprimée en unités d’aire).

Corrigé

L’aire d’un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur. Les propriétés des racines carrées nous permettent de calculer l’aire de ABCD :

aire du rectangle

L’aire du rectangle est de 20 unités d’aire (lorsqu’il n’est pas indiqué d’unité, par exemple des cm², on ne peut que mesurer une surface en « unités d’aire », sans préciser ce que vaut physiquement une unité).

 

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