Trois exercices avec formules trigonométriques

Exercices avec formules d'addition et de duplication

Les formules de trigonométrie, dites d'addition et de duplication, donnent lieu à de périlleux exercices qui pimentent la première S, souvent vers la fin de l'année scolaire.

Ils sont pour beaucoup d'élèves un casse-tête car l'enchaînement des étapes de calcul repose sur des choix parfois difficiles entre plusieurs formules (qu'il faut bien sûr apprendre !) et une bonne connaissance du cercle trigonométrique (c'est-à-dire des sinus et cosinus de π / 2, π / 3, π / 4 et π / 6). On s'éloigne donc sensiblement des habituelles équations qui, jusque là, se résolvaient peu ou prou en pilotage automatique avec un minimum d'entraînement.

Ci-dessous, trois exercices vous sont proposés. Non seulement les corrigés sont détaillés, mais ils comprennent des indications utiles entre chaque étape de calcul. Dans tous les exercices, on notera k un entier relatif quelconque tandis que a, b, x et y sont des réels.

Rappels :

sin² x + cos² x = 1

cos (xy) = cos x cos y – sin x sin y

cos (– y) = cos x cos y + sin x sin y

sin (xy) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y

sin 2x = 2 sin x cos x = 2 sin² x

cos 2x = cos² x – sin² x = 2 cos² x – 1 = 1 – 2 sin² x

Exercice 1

Résoudre l'équation suivante :

cos² x – sin² x = 0,5

Exercice 2

À quoi peut bien être égale l’expression cos 3x + 3 cos x ?

Exercice 3

Montrer que sin² (a + b) + cos² (a – b) = 1 + sin 2a  sin 2b.

Corrigé 1

Formule de duplication : on sait que cos 2x = cos² x – sin² x, donc on peut écrire cos 2x = 0,5.

De quel(s) nombre(s) le cosinus est-il égal à 0,5 ? C'est une question de cours de niveau seconde.

Réponse : c'est le cosinus de π / 3 + 2 et de -π / 3 + 2 qui est égal à 0,5.

Par conséquent  :

solutions

solutions

Corrigé 2

Pour employer les formules, on doit manipuler le cosinus de 2x (duplication) ou d’une somme (addition). La priorité est donc de faire disparaître ce 3x disgracieux…

cos 3+ 3 cos x = cos (2xx) + 3 cos x

On peut alors utiliser la première des formules d’addition.

cos 3+ 3 cos x = cos 2cos x – sin 2sin x + 3 cos x

À présent faisons intervenir les deux formules de duplication.

= (cos² x – sin² x) cos x – 2 cos sin sin x + 3 cos x

= cos³ x – sin² x cos x – 2 sin² x cos x + 3 cos x

= cos³ x – 3 sin² x cos x + 3 cos x

Supprimons les sinus grâce à la première formule (soit sin² = 1 – cos² x).

= cos³ x – 3(1 – cos² x) cos x + 3 cos x

= cos³ x – 3 cos x + 3 cos³ x + 3 cos x4 cos³ x

Corrigé 3

On utilise d’abord les formules d’addition dans le premier terme, soit :

(sin cos + sin cos a)² + (cos cos + sin sin b

Développons ces identités remarquables.

sin² a cos² b + 2 sin cos sin cos a + sin² cos² a + cos² cos² b + 2 cos cos sin sin b + sin² sin² b

sin² a cos² b + sin² cos² a + cos² cos² b + sin² sin² b + 4 sin a cos a sin b cos b

Faisons apparaître des "sin² a + cos² a" pour les remplacer ensuite par 1.

= cos² (sin² + cos² a) + sin² (cos² + sin² a) + 4 sin cos sin cos b

= cos² b + sin² b + 4 sin cos sin cos b

= 1 + 4 sin cos sin cos b

C’est au tour d’une formule de duplication d’intervenir.

 1 + (2 sin cos a)(2 sin cos b)

= 1 + sin 2sin 2b

Le tour est joué.