Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les équations trigonométriques

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Équations trigonométriques et angles associés

Cette page a le bon goût de montrer les étapes de résolution des équations trigonométriques qui utilisent les angles associés (les formules d’addition et de duplication n'interviennent pas dans les exemples). Son niveau de difficulté est adapté à la première S.

Il existe une procédure commune : d’abord une simplification de l’écriture (éventuellement) puis la résolution d’une équation trigonométrique élémentaire (sin = sin ou cos = cos) et enfin la vérification que les solutions ne sont pas redondantes. Les équations élémentaires reposent sur les égalités entre cos x et cos (-x) et entre sin x et sin (π – x).

Dans toute cette page, k est un entier relatif quelconque.

La forme sin x = λ ou cos x = λ

Certaines valeurs de λ ne nécessitent que la connaissance du cercle trigonométrique. Elles s’expriment généralement à l’aide de π.

Exemple : résoudre l'équation cos (2x) = (√3) / 2 sur ]-π ; π].

On doit exprimer √3 / 2 en fonction d’un cosinus. On sait que ce sont cos (π / 6) et cos (-π / 6) qui correspondent au cahier des charges (pour ne prendre que les mesures principales). Si l’on ne connaît pas le cercle ou si la valeur cherchée est trop bizarre, on utilise la fonction trigonométrique réciproque avec la calculatrice (mode radians). En l’occurrence, cos-1 (√3 / 2) ≈ 0,5236, c’est-à-dire π / 6. Bref, chemin faisant, nous arrivons aux équations élémentaires :

cos (2x) = cos (π / 6) ou cos (2x) = cos (-π / 6)

2x = π / 6 + 2 ou 2x = -π / 6 + 2

x = π / 12 +  ou x = -π / 12 +

Ce sont les deux formes de solutions. Si l’on se limite aux mesures principales, on ne relève que 0 et 1 pour valeurs de k. Si k = 0, les solutions sont -π / 12 et π / 12. Si k = 1, elles sont (-π / 12) + π, soit 11π 12 et (π / 12) + π, soit 13π / 12, autrement dit -11π / 12.

S = {-11π / 12 ; -π / 12 ; π / 12 ; 11π / 12}

Dans les exemples qui suivent, on ne relèvera que les solutions générales (voir la page angles orientés pour les recherches de mesures principales).

La forme sin x = sin y

Comme vous le savez, le sinus d’un nombre est aussi égal au sinus de π moins ce nombre. Sauf bien sûr si ce dernier est égal à zéro (modulo π), auquel cas la solution est unique et c’est zéro.

Illustration (le sinus se lit sur l’axe vertical) :

sinus

Si par exemple on doit résoudre l’équation suivante :

sin = sin

Les solutions sont sous la forme :

étape 2

Isolons les x.

isolons x

On obtient finalement :

solutions

La forme cos x = cos y

Le cercle ci-dessous illustre l’égalité entre cos x et cos(-x), le cosinus se lisant sur l’axe horizontal :

cosinus

Exemple. Résoudre cos 3x = cos [(π / 4) – x]

Vous êtes maintenant rompu à la technique. On a 3x qui est égal soit à (π / 4) – x + 2, soit à -(π / 4) + x + 2. On remarque que, k étant quelconque, il est équivalent d'écrire -2 ou +2.

Donc, 4x = (π / 4) + 2 ou 2x = -(π / 4) + 2 et par conséquent xπ / 16 + ½kπ ou x = -(π / 8) + kπ.

La forme cos x = sin y

Le plus simple est de transformer l’équation par une égalité entre deux cosinus en remplaçant le sinus. On utilise pour cela une formule d’angles associés, sin = cos [(π / 2) – y]. On peut évidemment opter pour une égalité entre sinus mais la résolution est un tout petit peu plus longue.

Après cette première étape, on se retrouve dans le cas de figure précédent.  Il ne me semble donc pas utile d’ajouter un exemple.

Les formes a cos² xb cos x + c = 0 et a sin² xb sin x + c = 0

L’astuce consiste à opérer un changement de variable, à résoudre l’équation du second degré et à retenir les solutions comprises entre -1 et 1 (puisqu’un cosinus, comme un sinus, est compris entre ces deux valeurs). Ensuite, on retrouve les types d’équations vus ci-dessus.

Soit l’équation cos² – 4 cos – 5 = 0

Changement de variable : soit X = cos x. D’où  – 4X – 5 = 0

On calcule le discriminant, soit – 4ac, et il vient 36 c’est-à-dire 6².

Les racines sont X1 = (4 – 6) / 2 = -1 et X2 = (4 + 6) / 2 = 5. Cette seconde racine ne peut être la valeur d’un cosinus. Il n’existe donc qu’une solution, X = cos x = -1.

Muni du cercle trigonométrique ou de notre mémoire, voire d’une calculatrice ou d’un logiciel, nous établissons que c’est le cosinus de π qui est égal à -1. Donc la solution est π + 2.

 

équations trigonométriques

 

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