Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les ensembles numériques

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Ensembles de nombres

En principe, les ensembles de nombres font l’objet d’une présentation en début d'année de seconde. Il s’agit de notions de base dont la connaissance doit être acquise par les lycéens. Les exercices de maths s'inscrivent très souvent dans certains ensembles et très rarement dans d'autres. Sur cette page sont présentés les cinq ensembles numériques qui sont au programme de seconde (un sixième ensemble, celui des complexes, est quant à lui abordé dans les filières scientifiques, S ou STI).

Les entiers naturels

Positif ou nul, un entier naturel permet de compter ce qui est dénombrable (N = {0, 1, 2, 3…}). L’ensemble s’écrit :

N

Souvent utilisé, cet ensemble est facile à appréhender.

L’étude de ces nombres et de leurs relations se nomme l’arithmétique.

Certains entiers sont appelés nombres premiers. Ils ne se divisent que par eux-mêmes et par 1, du moins si l’on reste dans l’ensemble des entiers. Il en existe une infinité et, de nos jours, on en découvre encore de nouveaux. Les premiers de la liste sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…

Selon la conjecture de Goldbach, mathématicien allemand du dix-huitième siècle, tout nombre pair supérieur à 3 est la somme de deux nombres premiers.

L’ensemble des entiers naturels hormis zéro s’écrit avec un astérisque : N* (remarque également valable pour les autres ensembles présentés ci-dessous).

Les entiers relatifs

Il s’agit des entiers naturels et de leurs opposés (donc des entiers négatifs). L’ensemble se note :

Z

Au lycée, on ne travaille pas souvent cet ensemble mais on s'y réfère en trigonométrie. Par exemple, -4, -1, 0, 5 sont des nombres relatifs (ils sont abordés en classe de quatrième mais on ne parle pas d'ensemble Z à ce moment-là).

Les nombres décimaux

Les décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un quotient d'un relatif et d'une puissance de 10.

Ils ont donc un nombre fini de décimales. Si par exemple on divise 10 par 3, on n’obtient pas un nombre décimal puisqu’il y a une infinité de 3 après la virgule. L’ensemble des décimaux se note ainsi :

D

Autant les nombres décimaux font partie de notre quotidien, du moins lorsqu'ils sont positifs, autant il est rarissime de ne travailler que sur cet ensemble (ce qui ne signifie pas du tout que l’on rencontre peu de décimaux en maths). S’il est aussi fréquent d’utiliser des nombres décimaux dans la vie courante, c’est soit parce qu'il s’agit de compter une grandeur qui a un nombre limité de subdivisions (par exemple un prix en euros se compte au maximum en centimes, donc avec deux décimales), soit que l’on arrondit une mesure…

Attention donc à certains énoncés pervers : 3,333 est un nombre décimal tandis que 3,333... n'en est pas un (les points de suspensions indiquent qu'il y a une infinité de 3 après la virgule).

Les nombres rationnels

Ceux-ci doivent exister sous la forme d'une fraction d’entiers relatifs : un numérateur divisé par un dénominateur non nul, soit a / b (écriture fractionnaire). On peut aussi les écrire avec une virgule (écriture décimale) mais certains seront des décimaux tandis que d’autres auront une infinité de chiffres après la virgule (avec une périodicité). Dans ce cas, la valeur exacte est écrite sous forme fractionnaire (ou éventuellement avec un point de suspension après quelques décimales) tandis que la valeur approchée comporte un nombre limité de décimales.

On note leur ensemble ainsi :

Q

Lui aussi est peu rencontré en tant qu’ensemble, bien que l'on utilise très souvent des fractions, présentées presque toujours sous forme irréductible (une fraction est réductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux).

Comme pour les décimales, il faut se méfier des faux-amis. Ce n’est pas parce qu’un nombre est présenté sous forme de fraction qu’il est rationnel. Exemple : la racine carrée de 2 divisée par 3 n’est pas un rationnel.

Profitons-en pour réviser quelques règles algébriques de base sur les fractions qui ont été vues au collège (et qui ne s’appliquent donc pas qu’à des rationnels !) :

règles de calcul

S’il faut additionner deux fractions dont les dénominateurs sont différents, on doit les réduire au même dénominateur :

dénominateur commun

Les réels

C’est sur cet ensemble que l’on travaille le plus souvent en mathématiques. Il s’agit de tous les nombres qui existent, même s’ils ne peuvent pas toujours être écrits seulement avec des chiffres.  Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel (par exemple π).

L’ensemble des réels se note :

R

Les ensembles des réels négatifs et positifs sont respectivement R- et R+.

D, Q et R sont des ensembles indénombrables. Un ensemble de réels qui se suivent est présenté sous forme d'intervalle (qui s'écrit avec des crochets, contrairement aux ensembles d'éléments dénombrables qui sont notés avec des accolades).

Relation d'inclusion

L’inclusion définit le fait qu’un sous-ensemble fait partie d’un ensemble. On peut d’ailleurs relier les ensembles numériques par une relation d’inclusion :

inclusion

Par exemple, du moment que l'on sait que -1 est un entier relatif, on sait qu'il est aussi un décimal, un rationnel et un réel.

 

ensembles mélangés

 

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