Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La droite dans le plan

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Introduction aux droites

Cette page s’adresse aux élèves de seconde et de première. Dans les programmes de maths, les droites dans le plan repéré se rencontrent dans deux contextes : en tant que représentation graphique des fonctions affines et linéaires mais aussi en tant qu'objet mathématique spécifique, ce qui permet par exemple de caractériser des figures géométriques. Ces deux notions sont de toute façon très liées et ont déjà été abordées en classe de troisième.

Situons-nous en terrain connu. En l’occurrence, dans un plan muni d'un repère (OIJ).

Définition

Une droite (AB) est l'ensemble des points M(x ; y) du plan qui sont alignés avec A et B. Cela peut sembler bizarre de définir une droite par un ensemble de points mais quand on y réfléchit un peu, pourquoi pas…

Équations de droites

Tous ces points M ont des coordonnées qui vérifient une même relation, nommée équation cartésienne de la droite (AB) (NB : élèves de seconde, passez directement à l'équation réduite).

Cette relation algébrique s’écrit sous la forme αx + βy + δ = 0 (α, β et δ  étant des réels). Remarquons que cette équation peut être multipliée par un réel quelconque, elle reste juste. Ainsi, une droite peut être définie par une infinité d'équations cartésiennes.

À partir de là, de deux choses l’une.

Soit la droite est parallèle à l’axe des ordonnées (verticale si le repère est orthogonal), alors y = 0 et il existe une unique relation :

x

Soit elle ne l’est pas et il existe alors deux réels a et b tels que y = ax + b. La droite coupe l’axe des ordonnées en un unique point. Si a = 0, la droite est parallèle à l'axe des abscisses ; si b = 0, elle passe par l'origine.

L’équation de type y = ax + b est dite réduite. Elle est UNIQUE pour définir une droite, contrairement à la cartésienne. C'est sous cette forme qu'on la rencontre en seconde ou en première ES.

On appelle a le coefficient directeur de la droite car il indique sa pente, comme nous allons le voir. Il DIRIGE. Quant au paramètre b, il représente l’ordonnée à l’origine puisque si x = 0, il est manifeste que y = b et c’est donc au point de coordonnées (0 ; b) que la droite transperce sans pitié l’axe des ordonnées. Bref, b POSITIONNE. Un point et une direction, c'est bien suffisant pour tracer une droite.

Deux droites sont parallèles (ou éventuellement confondues) si elles ont le même coefficient directeur. Sinon elles sont sécantes (voir la page positions relatives de droites).

Comment déterminer l’équation de la droite à partir de deux points connus ?

Retrouvons nos chers points A et B de coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB) dans un plan muni d'un repère..

Algébriquement, un coefficient directeur se détermine grâce aux coordonnées de deux points donnés (ou relevés sur la droite) :

coefficient directeur

Il est évident que l’on peut choisir n’importe quel couple de points appartenant à la droite et le fait que xA soit plus petit ou plus grand que xB n’a strictement aucune importance. On peut donc inverser l'ordre des termes dans l'expression de a, du moment que cette inversion s'opère au numérateur ET au dénominateur.

Une fois que l’on connaît a, il suffit d’utiliser l’équation de la droite en remplaçant x et y par les coordonnées de l’un des deux points connus et le coefficient a par la valeur trouvée. Il reste une banale équation dont l’inconnue est b. SoityA – axA.

Une autre façon de présenter les étapes de calcul consiste à écrire un système d’équations (deux équations à deux inconnues, a et b).

Exemple : quelle est l’expression d’une mystérieuse droite qui passerait par les points de coordonnées (-1 ; 4) et (6 ; -3) ?

Préalablement, on précise que les abscisses étant différentes, la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées et donc que son équation est de forme yax b.

Première technique : la formule du coefficient directeur.

coefficient directeur

Il reste à trouver b en remplaçant a sur l’un des deux points connus. Le premier ? D’accord. Donc, 4 = (-1) × (-1) + b, d’où b = 3. Soit y = -x + 3.

Deuxième technique : on pose un système d'équations. Les inconnues ne sont pas x et y mais le coefficient a et l’ordonnée à l’origine b. On sait que le premier terme d’un couple est l’abscisse et le deuxième est l’ordonnée.

système

Commençons par retirer la première équation de la deuxième. On obtient 7a = -7, donc a = -1. Ce qui nous amène à b = 3. Par conséquent, y = -x + 3.

Comment tracer une droite à partir de deux points connus ?

Rien de plus simple. Deux points A et B suffisent pour tracer une droite. Ne pas oublier que la droite poursuit sa course infinie au-delà de A et de B.

Méthode graphique

Il existe une méthode qui permet aussi bien de tracer une droite que de connaître son coefficient directeur à partir d’une représentation graphique, à condition qu'un point soit facile à placer (par exemple l'ordonnée à l'origine) et que son coefficient directeur se présente sous forme d'entier relatif ou de fraction..

L’astuce consiste à partir d’un point de la droite bien identifiable (il vaut mieux que le plan repéré soit représenté avec une grille) et à se déplacer d’une unité à droite. Le nombre d’unités à parcourir verticalement pour retrouver la droite est le coefficient directeur.

Dans l’exemple ci-dessous, le coefficient directeur est 2 :

coefficient directeur = +2

Si le coefficient directeur est compris entre -1 et 1, la direction de la droite n’est pas suffisante pour procéder ainsi (la pente est trop « douce »). Il faut alors avancer de plus d’une unité. Le nombre d’unités parcourues horizontalement est le dénominateur, le nombre d’unités parcourues verticalement est le numérateur. Il en est de même pour les valeurs non entières du coefficient directeur :

coefficient directeur

Exercice : voir page théorème du trapèze.

 

la droite

 

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