Si vous ne possédez pas de bac scientifique ou si vous n’avez pas étudié les mathématiques dans le cadre d’études supérieures, vous ignorez peut être qu’il existe des nombres complexes et imaginaires. Quoique, si les chiffres ne sont pas votre tasse de thé, vous devez penser que c’est l’ensemble des mathématiques qui est complexe et qui se situe dans un monde imaginaire…

Pourtant, les mathématiques font un travail de sous-traitant : un problème réel est à résoudre, on recourt aux maths et la solution s’applique dans le monde réel. Certains problèmes ne peuvent toutefois pas être résolus par de « vrais » nombres. Démunies, les mathématiques que j’appellerai abusivement « classiques » recourent donc à leur propre sous-traitant, encore plus abstrait que leur commanditaire, c’est-à-dire le monde des nombres complexes et des opérations qu’ils permettent.

Le nombre magique qui enfantera les nombres complexes est sobrement appelé i. Il est égal à la racine carrée de -1 (je rappelle au passage que sur l’ensemble des réels une racine carrée ne peut pas être négative). Donc, i² = -1.

Ce fameux i, multiplié à un réel, transforme celui-ci en imaginaire pur, élément de l’ensemble I. Donc, R ∩ I = Ø.

Et que font ces réels et ces imaginaires, cette matière et cette antimatière ? Ils s’associent ! Et pour donner quoi ? Des nombres complexes, composés d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. Donc, C = R ∪ I.

Un complexe s’écrit alors sous la forme z = x + yi. Cette forme d’écriture est dite « algébrique ». La partie réelle, c’est-à-dire x, est notée Re (z) et la partie imaginaire y est notée Im (y). Ces nombres peuvent être représentés sur un plan souvent appelé complexe qu’il ne faut pas confondre avec le plan en deux dimensions qui croise abscisses et ordonnées.

Toujours très terre-à-terre, l’axe horizontal est celui de la partie réelle tandis que l’axe vertical s’élève dans l’imaginaire. Le vecteur M(z) est appelé image du nombre z, z étant l'affixe de M. Il est pratique d'utiliser une autre forme d'écriture, cette fois vectorielle : z = (x , y).

Par ailleurs, un nombre complexe z = x + yi possède un conjugué égal à x – yi. Illustration :

Si un complexe est égal à son conjugué, il se trouve sur l’axe horizontal et c’est tout simplement… un réel. En revanche, z est un imaginaire pur si (et seulement si) son conjugué est égal à l’opposé -z. Vous l'aurez deviné, la somme d'un complexe et de son conjugué est égale à 2 Re(Z).

Voyons quelles opérations sont réalisables à ce niveau de connaissance.

L’addition ne pose pas de difficulté insurmontable : si z = 1 + 3i et si z’ = 2 – 5i, alors z + z’ = 3 – 2i.

La multiplication est plus retorse : zz’ = (xx’ – yy’) + i(xy’ + x’y). Pour continuer avec le même exemple :

Le calcul d’inverse s'en déduit et le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués (idem pour le quotient). Quant aux puissances :

Application (calcul du discriminant d’un trinôme) :

Le discriminant est donc égal à Δ = -64 = (8i)².

Allez, un dernier exercice. Celui-ci est extrait de l’épreuve du bac S de juin 1999 (Asie) :

Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z) = Z⁴  – 1.

a - Factoriser P(Z)

Question facile si l’on se souvient des identités remarquables. P(Z) = (Z – 1)(Z + 1)(Z² + 1).

b - En déduire les solutions dans l’ensemble C des nombres complexes de l’équation P(Z) = 0, d’inconnue Z :

On voit que les solutions sont {- 1 ; 1 ; - i ; i}.

c - Déduire de la question précédente les solutions dans C de l’équation d’inconnue z :

Si l’on remplace la fraction par une variable auxiliaire Z, on obtient Z⁴ = 1, c’est-à-dire Z⁴ – 1 = 0. La question précédente nous a permis d’affirmer que les solutions sont -1, 1, i et - i. Pour peu que z soit différent de 1 et Z différent de 2, on a :

On exprime z en fonction des quatre valeurs connues de Z. Si Z = -1, alors z est nul. Si Z = 1, z = -2. Si Z = i, c’est un peu plus compliqué :

Et lorsque Z = -i, on obtient le conjugué de ce nombre.

Remarque : il n'existe pas de relation d'ordre > ou < dans l'ensemble des complexes, pas davantage que de nombres positifs ou négatifs...

Pour conclure : cette page n’est qu’une introduction aux complexes. Ce n’est pas à ce niveau d’étude qu’on leur trouve une utilité opérationnelle. C’est en effet sous leur forme polaire qu’ils sont utilisables, notamment dans l’établissement de certaines prévisions.