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(et fondements mathématiques)

L'équation cartésienne d'une droite

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Équation cartésienne d'une droite dans le plan

Certains enseignants zélés glissent l’équation cartésienne d’une droite dans le programme de seconde. Mais en principe c’est en première S qu’elle apparaît, à l’occasion de l’approfondissement des notions acquises de vecteurs et de colinéarité. Il n’est toutefois pas absurde de l’aborder par une révision des fonctions affines, montrant ainsi un lien entre l'analyse et la géométrie.

Bref. Si une droite du plan admet une équation réduite, de type y = ax + b, elle admet aussi des équations dites cartésiennes de type αx + βy + δ = 0

Alors qu’une droite ne peut être définie que par une seule équation réduite, il existe une infinité d’équations cartésiennes. Il est évident que si l’on multiplie α, β et δ par un même réel, l’égalité reste vraie puisque le second membre est nul.

Théorème réciproque, l’ensemble des points M(x ; y) vérifiant l’équation αx + βy + δ = 0 est une droite. Important : son vecteur directeur est u(-β ; α). Il s’ensuit que deux droites d’équations αx + βy + δ = 0 et α’x + β’y + δ’ = 0 ne sont parallèles que si αβ’ – α’β = 0.

Pour obtenir une équation réduite à partir d’une cartésienne :

réduite et cartésienne

Il est clair que si β = 0 il n’est pas possible d’obtenir une équation réduite. Graphiquement, la représentation d’une équation de type αx + δ = 0 est une droite verticale. Si α = 0 nous obtenons l’équation d’une fonction constante (droite horizontale), si δ = 0, la droite représente une fonction linéaire et si aucun des trois paramètres n’est nul, une fonction affine.

Représentation graphique

Soit la droite (d) d’équation -x + 2y + 3 = 0. En l’absence d’outil informatique, comment la représenter ?

Deux techniques. La première consiste à la transformer en équation réduite. 2y = x – 3, d’où = 0,5x – 1,5. Cette forme plus habituelle permet un tracé facile. La seconde technique consiste à remplacer successivement x et y par 0 pour déterminer en quels points les axes seront traversés. Si x = 0 (axe des ordonnées) alors y = -1,5 et si y = 0 alors x = 3. Dès lors, il suffit de tracer une droite qui passe par ces deux points. Sur GeoGebra, on entre directement l’équation cartésienne. Évidemment, c'est plus simple !

droite

Équation cartésienne et vecteur directeur

Réciproquement, comment déterminer une équation cartésienne à partir d’une représentation graphique ? Là aussi, on peut passer par la formule de l’équation réduite. Mais il est également possible d’utiliser un vecteur directeur.

La droite ci-dessus passe par les points de coordonnées (0 ; -1,5) et (3 ; 0). D’où le vecteur directeur…

vecteur directeur

Prenons β = -3 et α = 1,5. Donc, 1,5x – 3y + δ = 0. Pour trouver δ, choisissons l’un des points de la droite et indiquons ses coordonnées dans l’équation.

(1,5 × 0) – (3 × (-1,5)) + δ = 0, donc δ = -4,5

1,5x – 3y – 4,5 = 0. Or, la droite avait été tracée à partir de l’équation –x + 2y + 3 = 0. Il suffit de multiplier cette dernière par 1,5 pour retomber sur nos pattes et nous réjouir de la justesse des calculs.

Pour vous échauffer avant l'exercice ci-dessous, vous pouvez commencer par faire l’exercice 3 de la page alignement de points.

Exercice

Soit les points A(3 ; 1) et B((2 ; -1) appartenant à la droite (d). Sa consœur (d’) passe quant à elle par l’origine et l’un de ses vecteurs directeurs est u(1 ; 2).

1- Déterminer un vecteur directeur de (d). Comment est située (d) par rapport à (d’) ? Donner une équation cartésienne de chacune de ces deux droites.

2- Montrer que la droite (d’’) qui passe par le point (-1 ; -1) et dont le vecteur directeur est v(3 ; 1) est sécante à (d) et à (d’). Déterminer en quels points ces droites sont sécantes.

3- Tracer la figure.

Corrigé

1- Un vecteur directeur de (d) est :

vecteur AB

Or AB = (-1) × u. Donc ces deux vecteurs sont colinéaires et les droites (d) et (d’) sont soit parallèles soit confondues. Déterminons l’équation réduite de (d). Nous constatons que son coefficient directeur est égal à 2 et l’ordonnée à l’origine est 1 – (2 × 3) = -5. Donc nos droites sont parallèles et (d) est au-dessous de (d’) (dont l’ordonnée à l’origine est 0).

Équation cartésienne de (d) : un vecteur directeur est (1 ; 2). L’équation est du type 2x – y + δ = 0. Remplaçons x et y par les coordonnées de A : (2 × 3) – 1 + δ = 0, donc δ = -5.

Pour (d’), nous partons d’un modèle 2x – y + δ’ = 0 et comme nous pouvons remplacer x et y par 0 (la droite passe par l’origine), il est limpide que δ’ = 0.

Récapitulons. (d) : 2x – y – 5 = 0 et (d’) : 2x – y = 0.

2- Le vecteur directeur de (d’’) n’étant pas égal à k fois le vecteur u, il est évident que (d’’) n’est pas parallèle aux autres et donc qu’elle leur est sécante.

(d’’) x – 3y + δ’’ = 0, d’où -1 + 3 + δ’’ = 0, donc δ’’ = -2. Il s’ensuit que x – 3y – 2 = 0

Les coordonnées des points d’intersections s’obtiennent facilement à l’aide de systèmes de deux équations à deux inconnues.

système 1      système 2

Je vous laisse le soin de trouver (2,6 ; 0,2) comme coordonnées de l’intersection entre (d) et (d’) tandis que (d’) et (d’’) se croisent en (-0,4 ; -0,2).

3- Ces points se vérifient sur ce graphe, réalisé grâce à GeoGebra :

3 droites

Autre exercice : voir la page équation cartésienne d'une droite paramétrée.

 

équation cartésienne

 

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