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(et fondements mathématiques)

L'arithmétique

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Notions d'arithmétique

L’arithmétique est la science qui étudie les nombres.

Si l’on excepte l’étude de figures géométriques simples, les mathématiques se confondent avec l’arithmétique à l’école élémentaire : addition, soustraction, multiplication et division. Durant les quatre années de collège, cette branche des mathématiques laisse progressivement place à la richesse du calcul littéral. Avec toutefois des transitions : la page proportionnalité de ce site illustre que certains problèmes simples peuvent être résolus par deux méthodes, l’une arithmétique (quatrième proportionnelle) et l’autre algébrique (produit en croix faisant intervenir une inconnue x).

L’arithmétique a pour cadre les ensembles numériques mais c’est surtout celui des entiers naturels qui est étudié (impliquant l’étude des fractions).

Parmi ses applications concrètes, mentionnons l’élaboration de codes (secrets ou non).

Sur cette page sont présentés quelques principes et notions qui doivent être connus en fin de collège. Ils sont inséparables du nom d’Euclide, mystérieux mathématicien grec.

1- Division euclidienne

Soit a, b, q et r des entiers positifs (b non nul). La division euclidienne de a par b permet de déterminer q et r (avec r < b).

a = bq + r

a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient de la division euclidienne et r est le reste.

Exemple : ci-dessous, 125 est le dividende, 9 est le diviseur, 13 est le quotient et 8 est le reste.

125/9=13 reste 8

Si le reste est nul, on dit que b est un diviseur de a (et que a est un multiple de b).

Un nombre entier qui ne possède que deux diviseurs (1 et lui-même) est un nombre premier. 1 n’en est pas un car il ne possède qu’un seul diviseur (lui-même).

Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers et de 1.

2- PGCD

Deux nombres entiers ont au moins un diviseur en commun. Le plus grand d’entre eux est appelé PGCD (plus grand commun diviseur). Le PGCD de deux entiers n et k se note PGCD(n ; k) ou PGCD(k ; n). Par exemple, PGCD(9 ; 6) = 3.

Propriétés : PGCD(n ; 1) = 1 et PGCD(n ; n) = n.

Deux algorithmes permettent de déterminer le PGCD de deux entiers.

L’algorithme des soustractions successives utilise la propriété suivante (avec a > b) :

PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b)

Exemple : déterminons le PGCD(675 ; 375).

PGCD(675 ; 375) = PGCD(300 ; 375)
PGCD(300 ; 375) = PGCD(300 ; 75)
PGCD(300 ; 75) = PGCD(225 ; 75)
PGCD(225 ; 75) = PGCD(150 ; 75)
PGCD(75 ; 75) = 75

Cet algorithme est réalisable sur Excel. À chaque ligne, la valeur maximale de la ligne précédente est reprise en colonne a et la valeur minimale en colonne b.

soustractions successives avec excel

L’algorithme d’Euclide est souvent plus rapide. Il utilise la propriété suivante (r est le reste de la division euclidienne de a par b) :

PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)

Exemple : déterminons PGCD(675 ; 375).

675 = 1 × 375 + 300
375 = 1 × 300 + 75
300 = 4 × 75 + 0

Le dernier reste non nul est 75. Donc PGCD(675 ; 375) = 75.

Avec Excel, cet algorithme repose sur la fonction MOD :

algorithme d'Euclide avec Excel

3- Nombres premiers entre eux

Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

Exemple : les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35. Les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8. Donc PGCD(35 ; 8) = 1.

Par conséquent, 35 et 8 sont premiers entre eux.

Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, la fraction est irréductible (elle ne peut pas être simplifiée).

Pour simplifier une fraction, on peut donc soit décomposer le numérateur et le dénominateur en plusieurs facteurs, éventuellement par étapes successives, soit chercher directement leur PGCD.

Exemple :

375/675=(75x5)/(75x9)=5/9

Exercice (extrait d’une épreuve du brevet de 2005)

1- Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.

2- Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au-dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.

a) Déterminer la longueur, en cm, du côté d’un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.

b) Combien faudra-t-il alors de carreaux ?

Éléments de correction

1- Algorithme d’Euclide : 210 = 1 × 135 + 75

135 = 1 × 75 + 60
75 = 1 × 60 + 15
60 = 4 × 15 + 0

PGCD(135 ; 210) = 15.

2- a) On cherche un nombre entier de carreaux de côté le plus grand possible. On utilise donc le PGCD. Le carreau doit mesurer 15 cm de côté.

b) 210 = 15 × 14 et 135 = 15 × 9. Donc il faut 14 rangées de carreaux en hauteur et 9 colonnes de carreaux en largeur. Soit 14 × 9 = 126 carreaux.

 

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