Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les aires

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Calculs d'aires

Sur un site web consacré aux techniques utilisées en entreprise et sur les marchés, une page sur les aires semble aussi utile qu’un brise-glace dans le désert de l’Atacama. Pourtant, ces représentations graphiques peuvent très bien avoir des significations économiques (voir pages exemple de surplus, régionnement du plan…) ou statistiques (indice de Gini…).

L'aire d'une surface est la mesure de l'intérieur de cette surface (par opposition au périmètre qui ne mesure que le pourtour).

Voici un panorama sur les calculs d'aires qui débute par un mémo sur les figures géométriques enseignées au collège et qui se termine par l’application des intégrales, enseignées en classe de terminale.

Figure géométriques

L’aire d’un rectangle est égale à la mesure de sa longueur multipliée par celle de sa largeur. Donc celle d’un carré est égale à la mesure de l’un de ses côtés élevé au carré (d’où le nom, évidemment). L’aire d’un triangle rectangle est obtenue comme celle d’un rectangle mais divisée par 2 puisque la figure n’est autre que la moitié d’un rectangle partagé par l'une de ses diagonales. L’aire d’un disque de rayon r est π r².

Pour mesurer les aires de la plupart des figures, on a besoin de la notion de hauteur (notée h) qui est la distance entre un point situé sur le périmètre et un autre point situé lui aussi sur le périmètre mais perpendiculairement au premier. Ci-dessous, les hauteurs sont indiquées par les flèches bleues.

figures géométriques

Si le triangle est équilatéral, sa hauteur est de ½ x√3, donc l’aire est de ¼ √3.

Exemple d’exercice (niveau seconde). La figure ci-dessous se présente comme un grand carré de côté 8. À l’intérieur se trouvent un petit carré de côté x et un triangle quelconque dont un sommet est confondu avec l’angle du petit carré. Ces deux figures figurent en rouge, le reste du grand carré étant bleu. Quelle valeur doit prendre x pour que les aires rouge et bleue soient égales ?

exemple pour calcul d'aires

L’aire rouge doit être égale à 8 × 8 × ½ = 32. L’aire du triangle est de (8 – x) × 8 × ½ soit 32 – 4x et celle du petit carré est de . Ainsi nous avons 32 =  + 32 – 4x. Il s’ensuit que  – 4x doit être égal à zéro. Factorisons. x(x – 4) = 0. Donc soit x = 0 (hypothèse rejetée), soit x = 4 (hypothèse retenue).

Autres domaines (niveau première)

En classe de première, les calculs d’aire font intervenir des équations du second degré ou des suites qui permettent d’appréhender certaines curiosités, y compris des formes au périmètre infini mais dont la surface est bornée. La détermination d'aires minimales ou maximales sous contrainte fait intervenir la notion de dérivée (voir les exercices d'optimisations d'aires).

La formule de l’aire du triangle avec le sinus est au programme de première S : soit l’angle d’un point A, noté Â, et les longueurs des deux côtés limités par A (b et c). Eh bien figurez-vous que l’aire du triangle est égale à 0,5 bc sin Â.

Intégrales (niveau terminale)

L’aire délimitée par une ou deux courbes représentatives de fonctions sur un intervalle [a ; b] dans un plan repéré se calcule à l'aide des intégrales de ces fonctions (si l'on connaît leurs expressions algébriques et si l'on peut les intégrer, bien sûr).

Pour décrire grossièrement l'opération, cela revient à additionner des bâtons verticaux très fins entre deux abscisses a et b sur toute la surface mesurée (entre xa et xb). Le résultat est exprimé en unités d'aire (u.a.), c'est-à-dire en carreaux de 1 × 1.

Ci-dessous, la partie hachurée représente l'ensemble des points compris entre l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation x = -3 et la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = ( – 3x + 1) ex (extrait de sujet de bac S, France métropolitaine septembre 2001). Réalisation sur Sine qua non. Chaque carreau représente une u.a. Approximativement, le résultat n'est pas loin de 4,5.

aire

Une calculatrice graphique permet d'ailleurs d'affiner ce résultat. Ci-dessous avec une TI-83 (saisir l'expression de la fonction puis touche calculs, choix 7. On entre les limites basse et haute, soit -3 et 0).

TI-83

Si une aire doit mesurer une surface entre deux courbes, on l'obtient par différence. Exemple : à partir du graphique ci-dessous, comment déterminer l’aire entre a et c sachant que les courbes se croisent au point d'abscisse b ?

intégration

Réponse :

calcul d'aire

Un calcul d’aire nécessite donc l’étude du signe d’une fonction. S’il s’agit comme ici d’une aire entre deux courbes, il est évident qu’il faut d'abord déterminer laquelle se situe au-dessus de l'autre et, le cas échéant, en quel(s) point(s) les deux fonctions s’égalisent (ce qui peut nécessiter un appel au théorème des valeurs intermédiaires). Voir aussi l'exemple de la page relation de Chasles.

Représentations statistiques

Une représentation graphique sous forme de surface est un moyen commode de visualiser l'importance d'une sous-population. C'est le principe des histogrammes, des diagrammes circulaires et même parfois de graphes d'évolution (voir par exemple la page suivi de la masse salariale). Toutefois, il ne s'agit pas d'aires dans un plan repéré. L'aire mesure aussi la surface qui représente une probabilité sous une courbe de densité de probabilité.

 

surface

 

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