La notion mathématique de voisinage est connue dès qu’on étudie les limites, au lycée. Il s’agit alors de déterminer ce qui se passe autour de telle valeur d’une fonction d’une seule variable et en particulier si ladite fonction est continue à cet endroit-là. Bref, que du bonheur.

Ainsi, le voisinage d'un réel est un intervalle ouvert qui inclut ce réel. Comme un intervalle ouvert en inclut un autre qui en inclut un autre, on peut continuer ainsi et raisonner sur un intervalle infiniment petit.

Là où ça se corse, c’est lors de l’étude de fonctions à plusieurs variables qu’on représente dans l’espace. On utilise alors le terme de « boule » centrée sur un point. La boule est dite « ouverte » si sa sphère est exclue et fermée si l’orange a encore son zeste.

Du coup, on peut préciser la notion de « voisinage ». Le voisinage d’un point A est un ensemble qui contient une boule ouverte dont le centre est A (le voisinage lui-même n’étant pas obligatoirement ouvert). En l’absence de métrique, on parle de l’« ouvert » d’un espace topologique.

Soit dit en passant, on peut s’imaginer une boule en 3D mais à partir de quatre, ça devient ardu !

Représentons sur R² les boules fermées de centre O et de rayon 1 selon les trois normes.

Norme 1 (valeurs absolues).

On a |x| + |y| ≤ 1.

Si x ≥ 0 et y ≥ 0, x + y – 1 ≤ 0
Si x ≥ 0 et y < 0, x – y – 1 ≤ 0
Si x < 0 et y ≥ 0, -x + y – 1 ≤ 0
Si x < 0 et y < 0, -x – y – 1 ≤ 0

La zone cherchée se situe entre les quatre droites y = -x + 1, y = x – 1, y = x + 1 et y = -x – 1.

NB : drôle de boule…

Norme 2 (euclidienne).

Donc x² + y² ≤ 1. C’est l’équation d’un disque fermé de rayon 1.

On retrouve cette forme graphique lorsqu'on exécute une ACP sur variables, ces dernières se situant à l'intérieur d'une norme euclidienne de 1 écart-type.

Norme 3 (uniforme).

Max (|x| , |y|) ≤ 1. Donc, x est compris entre -1 et 1, tout comme y.

NB : encore une drôle de boule…