Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les résolutions graphiques

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Résolutions graphiques d'équations et d'inéquations

Lorsqu’en classe de seconde on étudie les fonctions, on découvre quelques possibilités inattendues, comme par exemple résoudre une équation avec une courbe ! Eh oui, un simple regard sur la représentation graphique d’une fonction permet de déterminer pas mal de choses. Voyons-en quatre, à commencer par la plus simple.

Ci-dessous, les fonctions seront représentées dans un plan orthogonal muni d’un repère (O, IJ).

Détermination de l’ensemble de définition

L’ensemble de définition de la fonction f est l’ensemble des abscisses des points de sa représentation graphique. Ainsi, si la courbe représentative de f est limitée, on peut lire les bornes de son ensemble de définition sur l’axe des abscisses.

À titre d’exemple, la fonction f représentée ci-dessous en rouge est définie sur [-1 ; 10]. L’ouverture ou la fermeture aux bornes de l’ensemble de définition n’apparaît pas ici (sur Geogebra) mais si besoin on peut intégrer des crochets aux extrémités d’une courbe. La courbe bleue est représentative d’une fonction g définie sur l’ensemble des réels R et n’a donc pas d’extrémité.

courbes

Bien sûr, la seule vue de ce graphe ne nous interdit pas de penser que la courbe rouge existe aussi sur un intervalle non couvert par l’illustration (une fonction n’étant pas forcément continue) et que la courbe bleue s’arrête à un point donné. Mais dans l’enseignement secondaire, ce genre de facétie n’est pas de mise dans les énoncés.

Résolution graphique d’une équation de type f(x) = a

La technique est particulièrement simple. Elle consiste à tracer une droite d’équation y = a (c’est-à-dire horizontale). Le tracé est souvent en pointillés pour montrer qu’il n’est qu’une étape de construction. On relève chaque point d’intersection entre la courbe et cette droite et on lit son abscisse. Puis on conclut.

Par exemple, lorsqu’on résout une équation de type f(x) = 0 (ce qui est plutôt fréquent), on s’intéresse aux points d’intersection entre la courbe et l’axe des abscisses.

Cette équation n’est autre qu’une recherche d’antécédent(s). Il peut y avoir aucune, une seule ou plusieurs solutions.

La technique graphique permet aussi de vérifier un calcul réalisé à partir de l’expression algébrique de la fonction. D’ailleurs, seul le calcul permet de s’assurer de la valeur exacte d’une solution, la lecture graphique conduisant théoriquement à une valeur approchée (même avec un microscope !).

Exemple : soit la fonction f représentée graphiquement ci-dessous.

résolution graphique

Résolvons les équations f(x) = -2, f(x) = -1 et f(x) = 3. Il apparaît immédiatement que la première équation n’admet pas de solution (droite rouge), que la deuxième en admet une S = {0} (droite orange) et que la troisième en admet deux S = {-1 ; 1} (droite bleue). Si l’on sait que l’expression de f est f(x) =  – 1, il est facile de valider ces observations.

Si vous savez tracer une courbe avec une calculatrice graphique (voir la page tracé de courbe avec calculatrice TI), vous pouvez résoudre graphiquement l'équation f(x) = a en entrant deux fonctions : f et une fonction constante (Y2 = a).

Résolution graphique d’une équation de type f(x) = g(x)

Là encore, rien de compliqué. Graphiquement, l’équation f(x) = g(x) se vérifie aux abscisses des points où les courbes représentatives de ces fonctions se confondent.

Sur le graphique ci-dessous, on retrouve notre représentation de f mais cette fois en compagnie de la représentation d’une fonction affine g.

f et g

Il apparaît que f(x) = g(x) pour x = -1 et = 2 puisque les courbes sont sécantes aux points de coordonnées (-1 ; 0) et (2 ; 3).

Là encore, la résolution graphique peut venir en complément d’une résolution algébrique. Voir la page d’exercices sur intersections de courbes.

Résolution graphique d’une inéquation

L’inéquation peut être de type f(x)a ou encore f(x) > g(x)… Il suffit de relever sur quel intervalle une courbe est située au-dessus d’une droite horizontale ou d’une autre courbe.

Conservons le même exemple. Sur le graphe ci-dessus, nous pouvons résoudre f(x) < g(x). Repérons où la courbe verte est au-dessous de la droite rouge : l’ensemble des solutions se lit encore sur l’axe des abscisses. S = ]-1 ; 2[.

Nous pouvons aussi résoudre f(x) > 0. Il est clair que S = ]-∞ ; -1[ U ]1 ; +∞[.

Résolvons pour terminer l’inéquation  – 1 < 3

⇔  < 4
 – 4 < 0

Factorisons l’identité remarquable.

(x – 2)(x + 2) < 0

tableau de signes

S = ]-2 ; 2[. Nous le vérifions sur le graphe.

Voir aussi la page d’exercices sur les liens entre une fonction et sa courbe représentative.

 

résolution

 

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