Pour beaucoup, les primitives renvoient à un casse-tête lointain, une torture pour cerveaux déjà surmenés qui se trouvaient alors contraints de « dériver à l’envers ». Il est vrai qu’à moins de disposer d’un logiciel capable de trouver une primitive (voir plus bas les prouesses de Maxima), l’opération est un peu fastidieuse, à moins bien sûr d’aimer ce type de sport cérébral.

Donc, la dérivée d’une primitive (notée F) est la fonction elle-même. F’(x) = f(x). On parle d’UNE primitive car chaque fonction continue en possède une infinité : dans la mesure où une constante n’a pas de dérivée, l’expression f(x) = 2x peut avoir pour primitive aussi bien x² que x² + 1, x² + 200 ou x² + ln 5. Bref, il est important de préciser dans l’expression d’une primitive « + c » indiquant par là qu’on peut ajouter n’importe quelle constante, sauf si des indications permettent de préciser la valeur de cette dernière.

On ne cherche une primitive que sur un intervalle.

En statistiques, on sait qu’une primitive de fonction de densité est la fonction de répartition.

Les primitives usuelles vous convient à leur grande parade :

C’est dans le calcul intégral que les primitives sont le plus utilisées.

Voyons un exemple. Il s’agit de déterminer une primitive de la fonction continue suivante :

Tout l’art consiste à faire apparaître une forme connue de dérivée. En l’occurrence, si l’on pose f(x) = ½ × (2x / x² + 1), on obtient une forme ½ × u’ / u avec u = x² + 1. C’est bien sûr le modèle de dérivée d’une fonction logarithme que l’on vient d’extraire de sa gangue. Donc, F(x) = ½ × ln (x² + 1) + c.

Avec le logiciel gratuit Maxima, on utilise le menu « calculs » puis « intégrer » (sans cocher Intégration définie) :

Autre exemple, avec une valeur donnée (ce qui permet de déterminer la constante) :
Soit une fonction définie sur R+* par f(x) = 4x³ + (1 / x²) + 1.

Si l’on sait, par exemple, que F(1) = 1, on voit bien qu’il n’y a pas de constante : (1 + 1 – 1) = 1. Si l’on pose F(1) = 2, alors F(x) = x⁴ + x – (1 / x) +1.