Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les fonctions périodiques

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Fonctions périodiques et parties entières

Certaines fonctions, y compris des suites, sont condamnées à bégayer à l’infini. Cette situation peu enviable est par exemple celle des fonctions trigonométriques mais pas uniquement.

Note : la notion de périodicité est au programme de terminale S mais pas les développements qui suivent (partie entière...).

Notion de périodicité

Une fonction f définie sur R est périodique si pour tout réel x on a f(x + T) = f(x). Le réel T est appelé la période.

Exemple de la courbe représentative de la fonction cosinus :

cosinus

Les fonctions sinus et cosinus sont toutes deux périodiques de période 2π. On dit aussi qu'elles sont 2π-périodiques.

Il est inutile d’étudier une fonction plus que nécessaire. Derrière cet énigmatique conseil, on devine qu’une fonction périodique ne sera analysée que sur une seule période (inutile de réaliser un tableau de variation qui ressemble à une guirlande).

Illustration: voir les exercices 1 et 2 de la page d'exercices avec la fonction sinus.

Partie entière

Soit E(x) la partie entière de x par défaut. La partie entière est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. Par exemple, E(-3,2) = -4. Et il est limpide que E(x + 1) = E(x) + 1. La manipulation des valeurs entières nécessite beaucoup de bon sens (le jeu de mots est purement fortuit).

Donc, étudions une fonction numérique qui se présente ainsi : f(x) = x – E(x + 0,5).

Notons que l’expression E(x + 0,5) est tout simplement l’arrondi à l’entier le plus proche. La fonction f définie sur R par f(x) représente donc les seules décimales et il est évident que la période est égale à 1. On a donc f(x) = f(x + 1) = f(x + 2)…

x-E(x+0,5)

Compliquons. Soit la fonction g définie sur R par g(x) = (x / 3) – E(x / 3). Le plus simple est de tracer sa « courbe » représentative avec une calculette ou un logiciel (ici, Sine Qua Non) :

x/3 - E(x/3)

La somme de deux fonctions périodiques est rarement périodique. Mais ici, h(x) = f(x) + g(x) l’est bel et bien (période égale à 3) car le rapport des deux périodes est rationnel :

somme des 2

Pour aller plus loin...

Nous avons vu que les fonctions sinus et cosinus sont continues et de période 2π. Les fonctions sécante et cosécante sont également de même période. La fonction tangente, qui n’est pas continue sur R, est impaire et de période π. Attention, les fonctions trigonométriques réciproques ne sont pas périodiques.

La valeur moyenne d’une fonction de période T est obtenue par l’intégrale :

moyenne fct périodique

C'est en physique que l'on utilise beaucoup les fonctions périodiques. Dans le cadre des problématiques économiques, la périodicité se rencontre sur les séries chronologiques avec saisonnalité.

 

périodes

 

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