En statistiques, la symétrie d’une distribution autour d’une moyenne s’évalue par le coefficient d’asymétrie (skewness). En mathématiques, il ne s’agit pas d’estimer si une fonction est plus ou moins symétrique : elle l’est ou non. To be or not to be. Et de plus, les symétries sont de différents types.

Dans l’étude d’une fonction, la recherche d’une éventuelle symétrie est conduite au début, une fois l’ensemble de définition précisé. Si l’on peut prouver une symétrie, il suffit d’analyser une moitié seulement de la fonction. Les situations les plus simples nous renvoient au programme de seconde.

On dit qu’une fonction est paire si, quel que soit x, f(x) = f(-x) et qu’elle est impaire si f(-x) = -f(x).

Pour tracer la courbe représentative d’une fonction paire, on utilise l’axe des ordonnées comme un miroir. Les fonctions y = |x|, y = x² ou y = cos (x) sont des exemples simples de fonctions paires.

En revanche, c’est l’origine (donc un point) qui sert de miroir pour tracer la courbe d’une fonction impaire. La fonction inverse (y = 1 / x) et la fonction sinus en constituent des illustrations du plus bel effet.

Pourquoi nommer ces fonctions ainsi ? Tout simplement parce qu’une fonction puissance y = xⁿ est paire si n est pair et impaire si n est impair.

Voici la représentation graphique d’une fonction paire (en vert, y = x⁴ – 1) et d’une fonction impaire (en rouge, y = x^-3).

La somme et le produit de deux fonctions paires est une fonction paire. La somme de deux fonctions impaires est une fonction impaire. Mais le produit de deux fonctions impaires est une fonction paire.

D'une façon plus générale, toute combinaison linéaire de fonctions paires est une fonction paire, la même remarque s'appliquant aux fonctions impaires.

Aussi étonnant que ça puisse paraître, toute fonction définie sur R peut être présentée comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Par exemple, les parties paire et impaire de la fonction exponentielle sont les fonctions sinus et cosinus hyperboliques.

Dérivées

La dérivée d'une fonction paire est impaire et inversement puisque si f(x) = f(-x), il est évident que f'(x) = -f'(-x).

Axes de symétrie

Le « miroir » peut être un autre axe que celui des ordonnées. Si cet axe est x = a, c’est que f(2a – x) = f(x). Pour prouver la symétrie, il suffit alors soit de démontrer cette égalité, soit d’opérer un changement de variable puis d’établir que la nouvelle fonction est paire.

La parabole représentative d'une fonction trinôme f(x) = ax² + bx + c admet un axe de symétrie d’équation x = -b / 2a.

Centres de symétrie

Ce n’est pas parce qu’un point est différent de l’origine qu’il n’a pas le droit d’être un centre de symétrie ! Si une fonction vérifie f(2x₀ – x) = 2y₀ – f(x), c’est que le point (x₀ , y₀) est centre de symétrie de la courbe. Là encore, on peut le prouver soit en utilisant la formule, soit en montrant que la fonction devient impaire après que l’on a opéré un judicieux changement de variable.

Pour terminer, mentionnons pour mémoire les centres ou axes de symétrie entre courbes de deux fonctions différentes. Lorsque cet axe est la première bissectrice, les fonctions sont dites réciproques (logarithme népérien et exponentielle, par exemple). L'axe des abscisses est quant à lui un axe de symétrie entre une fonction f(x) et son opposée -f(x).

Exemple

Mais on ne va pas se quitter comme ça. Examinons un petit exercice facile. Soit la fonction suivante :

Les plus perspicaces auront reconnu la fonction de densité de cette bonne vieille loi normale. Vérifions qu’elle est paire en abscisse x = m.

Donc f(2m – x) = f(x) et la courbe évolue symétriquement à l'axe x = m.