Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

La parité

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Fonctions à une variable et symétrie

En statistiques, la symétrie d’une distribution autour d’une moyenne s’évalue par le coefficient d’asymétrie. En mathématiques, il ne s’agit pas d’estimer si une fonction est plus ou moins symétrique : elle l’est ou ou elle ne l'est pas. To be or not to be. Et de plus, les symétries sont de différents types.

Dans l’étude d’une fonction, la recherche d’une éventuelle symétrie est conduite au début, une fois l’ensemble de définition précisé. Si l’on peut prouver une symétrie, il suffit d’analyser une moitié seulement de la fonction. Les situations les plus simples nous renvoient au programme de seconde.

On dit qu’une fonction f est paire si, quel que soit x appartenant à l'ensemble de définition, f(x) = f(-x) et qu’elle est impaire si f(-x) = -f(x).

Pour tracer la courbe représentative d’une fonction paire, on utilise l’axe des ordonnées comme un miroir (symétrie axiale). Les fonctions f(x) = |x|, f(x) = x² ou f(x) = cos (x) sont des exemples simples de fonctions paires.

En revanche, c’est l’origine du repère (donc un point) qui sert de miroir pour tracer la courbe d’une fonction impaire (symétrie centrale). La fonction inverse, la fonction sinus ou encore la fonction cosécante en constituent des illustrations du plus bel effet.

Pourquoi nommer ces fonctions ainsi ? Tout simplement parce qu’une fonction puissance f(x) = xn (n entier naturel) est paire si n est pair et impaire si n est impair.

Voici la représentation graphique d’une fonction paire (en vert, f(x) = x4 – 1) et d’une fonction impaire (en rouge, g(x) = x-3).

courbes paire et impaire

La somme et le produit de deux fonctions paires est une fonction paire. La somme de deux fonctions impaires est une fonction impaire. Mais le produit de deux fonctions impaires est une fonction paire.

D'une façon plus générale, toute combinaison linéaire de fonctions paires est une fonction paire, la même remarque s'appliquant aux fonctions impaires.

Aussi étonnant que ça puisse paraître, toute fonction définie sur R peut être présentée comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Par exemple, les parties paire et impaire de la fonction exponentielle sont les fonctions sinus et cosinus hyperboliques.

Dérivées

La dérivée d'une fonction paire est impaire et inversement puisque si f(x) = f(-x), il est évident que f'(x) = -f'(-x).

Intégrales

Si f(x) est paire, alors...

intégrale de fonction paire

Et si elle est impaire...

intégrale de fonction impaire

Axes de symétrie

L'axe de symétrie d'une courbe représentative d'une fonction n'est pas toujours l'axe des ordonnées. Si cet axe a pour équataion x = a (a étant un réel), c’est que f(a + x) = f(a – x), ou, ce qui revient au même, f(2a – x) = f(x). Pour prouver la symétrie, soit on démontre cette égalité, soit on opère un changement de variable avant d’établir que la nouvelle fonction est paire.

Soit a, b et c réels. La parabole représentative d'une fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c admet un axe de symétrie d’équation x = -b / 2a.

Centres de symétrie

Ce n’est pas parce qu’un point est différent de l’origine qu’il n’a pas le droit d’être un centre de symétrie ! Si une fonction vérifie f(2x0 – x) = 2y0 – f(x), c’est que le point (x0 ; y0) est centre de symétrie de la courbe. Là encore, on peut le prouver soit en utilisant la formule, soit en montrant que la fonction devient impaire après avoir opéré un judicieux changement de variable.

L'hyperbole représentative de la fonction (ax + b) / (cx + d) admet un centre de symétrie au point de coordonnées (-d / c , a / c).

Pour terminer, mentionnons pour mémoire les axes de symétrie entre courbes de deux fonctions différentes. Lorsque cet axe est la première bissectrice, les fonctions sont dites réciproques (logarithme népérien et exponentielle, par exemple). L'axe des abscisses est quant à lui un axe de symétrie entre f(x) et son opposée -f(x).

Exemple

Mais on ne va pas se quitter comme ça. Examinons un petit exercice facile. Soit la fonction suivante :

loi normale

Les plus perspicaces auront reconnu la fonction de densité de cette bonne vieille loi normale. Vérifions qu’elle est paire en abscisse x = m.

exemple de parité

Donc f(2m – x) = f(x) et la courbe évolue symétriquement à l'axe x = m. Évidemment, si la loi est centrée, elle est paire stricto sensu...

Voir aussi l'exercice 1 de la page exercices avec la fonction sinus.

 

symétrie

 

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