Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les limites de fonctions

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Limites, opérations et théorèmes

La limite : voici un terme mathématique bien connu (et pas toujours favorablement de la part des lycéens...). Trouver une limite, c’est connaître le comportement d'une fonction, en particulier à l'une des bornes de son ensemble de définition, infini compris (voir page limites à l'infini).

Ainsi, une limite peut être calculée au voisinage d'une valeur (à droite et/ou à gauche), même si la fonction n'est pas définie pour cette valeur. La limite elle-même est soit finie soit infinie (voir page limite infinie d'une fonction en un point). Le calcul des limites aux bornes de l'ensemble de définition fait partie des étapes de l'étude d'une fonction.

Ne pas confondre l’absence de limite et la limite infinie. À titre d'exemple, lorsque x est infini, la limite de ex tend aussi vers l’infini. En revanche, la limite de sin x n’existe pas.

La plupart des limites usuelles se découvrent facilement pour qui possède un peu de bon sens (l'inverse d'un nombre minuscule est très grand et réciproquement...). Les bases figurent en page opérations sur limites. Ainsi, pour n > 0 :

limites usuelles

Limites sur les logarithmes et sur la fonction exponentielle :

limites des logarithmes

Autre limite utile :

limite de sin x / x

Au-delà de l'approche intuitive, il existe bien entendu des définitions rigoureuses de la notion de limite, utilisées pour les démonstrations.

Opérations sur les limites

Il existe des cas (particulièrement nombreux dans les exercices de maths) où la détermination de la limite n'est pas tout de suite évidente. Il faut alors pousser l’analyse à l’aide des croissances comparées, des fonctions équivalentes ou autres triturations algébriques telles que changements de variables. Il existe quatre formes indéterminées algébriques (enseignées dans le secondaire) et trois formes exponentielles :

formes indéterminées

Exemple d'utilisation des fonctions équivalentes : à l’INFINI, une fonction polynomiale se comporte comme son terme de plus haut degré et une fonction rationnelle se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré.

Lorsqu’une limite d’une fonction en a n’est pas immédiatement déterminée, on peut ruser en calculant une limite en (a + h) lorsque h tend vers zéro. Par exemple, on cherche la limite au voisinage de a = 2 de la fonction suivante :

exemple

Posons x = 2 + h.

exemple

Notez qu’on serait arrivé au même résultat en factorisant par (x – 2) le numérateur et le dénominateur (c’est d’ailleurs plus simple. Voir la levée d'indétermination de la page division de polynômes).

La courbe représentative de cette fonction admet une asymptote horizontale d'équation y = ⅔. En effet, nous avons vu qu'à l'infini la limite d'un quotient est égale au rapport des termes du plus haut degré (soit 2x² / 3).

Le théorème des gendarmes (limite par encadrement). Si, au voisinage de a :

théorème des gendarmes

Ce théorème est particulièrement utile pour trouver la limite d'une fonction dont l'expression inclut une forme trigonométrique.

Le théorème de composition :

théorème de composition

La règle de L’Hôpital : on quitte les formules « évidentes » pour une technique efficace pour lever les indéterminations. Si la limite de f(x) / g(x) est indéterminée, on la trouve par le quotient des dérivées  f’(x) / g’(x). Si ça ne suffit pas, on dérive encore. Dans l’exemple de f(x) indiqué ci-dessus, cela revient à chercher la limite en a = 2 de (4x + 4) / (6x + 1), soit 12 / 13. Le résultat est immédiat.

Limites et continuité : la limite est le concept central de la notion de continuité. L'étude des limites autour d'un point non défini d'une fonction peut parfois permettre un prolongement par continuité. Il faut pour celà qu'elles soient finies et qu'elles tendent vers la même valeur.

Entraînement :

Soit la fonction g définie sur R* :

exemple pour encadrement

On cherche la limite à droite de zéro (soit 0+).

Solution: on sait qu'un cosinus se situe entre -1 et 1. Donc le numérateur est compris entre -x et x, qui tendent tous deux vers 0. On déduit grâce au théorème de limite par encadrement que le numérateur tend vers zéro tandis que le dénominateur tend vers la racine carrée de 2. Donc, la limite de g(x) quand x tend vers 0+ est égale à 0.

Voir aussi les pages exercices sur les limites avec exponentielle et logarithmes et croissances comparées.

Dans certains cas difficiles de levée d'indétermination, il est possible de recourir aux développements limités (voir la page calcul de limites avec développement de Mc Laurin). Cette technique n'est pas au programme de l'enseignement secondaire.

Suites :

Le suites sont des fonctions particulières. La détermination de leur limite n'a d'intérêt qu'en +∞. Tous les détails en pages limites de suites, limites des suites de type qⁿ et propriétés des limites de suites (niveau terminale S).

 

limites

 

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