Exercices de factorisation de polynômes
Développements et factorisations sont des transformations d’écriture d’expressions mathématiques qui sont enseignées au collège. Après quelques rappels, cette page propose quelques exercices de classe de seconde.
À ce niveau d’étude, on commence à explorer des fonctions au-delà de la simple fonction affine. Surtout, on apprend qu’une même fonction peut souvent s’écrire de plusieurs façons (voir page expressions d'une fonction du second degré) et qu'avant de se lancer dans des explorations hasardeuses, il faut toujours se demander quelle expression est la mieux adaptée à la question qui nous est soumise. Pour cela, le B.A-BA est de savoir développer et factoriser un polynôme du second degré. La factorisation d’autres types de fonctions surviendra au cours de vos études mais le principe restera toujours le même.
Développement
Le développement est une opération assez simple à réussir. Il suffit d’être méthodique. La technique consiste à distribuer, puis à réduire et à ordonner.
Le développement permet de transformer une multiplication en addition. Ainsi, \((a + b)(c + d)\) \(=\) \(ac + ad + bc + bd.\)
Prenons un exemple de multiplication : \(2 × 5 = 10.\) On peut remarquer que \(2 = 5 - 3\) et que \(5 = 1 + 4\) (on aurait pu choisir d'autres décompositions, bien sûr). Remplaçons alors 2 et 5. On obtient \((5 - 3)(1 + 4)\) et si l’on distribue, ça devient :
\((5 × 1) + (5 × 4) - (3 × 1) - (3 × 4)\) \(=\) \(5 + 20 - 3 - 12\) \(= 10\)
Et comme ça marche à tous les coups, on peut introduire une variable \(x.\)
Autre exemple. \((3x + 2)(4 - x)\) \(=\) \(12x - 3x^2 + 8 - 2x.\) L’étape de RÉDUCTION consiste à regrouper les termes de même puissance pour simplifier l’écriture et ORDONNER signifie qu’il faut les classer par ordre décroissant des puissances (c’est une convention bien utile pour ensuite vous enseigner diverses formules). Donc ici, \(-3x^2 + 10x + 8.\)
Lorsque les deux facteurs à multiplier sont les mêmes ou qu’ils ne diffèrent que par un signe, on parle d’identité remarquable. Ainsi…
\((a + b)^2\) \(=\) \((a + b)(a + b)\) \(=\) \(a^2 + ab + ba + b^2\) \(=\) \(a^2 + 2ab + b^2\)
\((a + b)(a - b)\) \(=\) \(a^2 - ab + ba - b^2\) \(=\) \(a^2 - b^2\)
Factorisation
C’est le contraire du développement puisqu’on transforme une addition en multiplication. L’opération demande plus de subtilité. En seconde, on ne voit que deux techniques de factorisation : le facteur commun et l’identité remarquable (opérations inverses de ci-dessus).
Par exemple, nous savons que \(6 + 4 = 10.\) Or, il apparaît que 6 et 4 sont deux multiples de 2. On peut donc factoriser cette somme par 2. On obtient \(2(3 + 2)\) \(=\) \(2 × 5\) \(= 10.\) Nous avons transformé \(6 + 4\) en \(2 × 5.\) Et là aussi, ça fonctionne avec \(x\) (pour votre plus grand plaisir).
Exemple 1 : \(P(x) = x^2 + 3x.\) On remarque que les deux termes sont des multiples de \(x.\) On place celui-ci en facteur : \(P(x) = x(x + 3).\) C’est la forme factorisée.
Exemple 2 : \(P(x) = 4x + 2.\) On ne factorise pas par \(x\) puisque le second terme n’est pas une expression en \(x.\) En revanche, les deux termes sont divisibles par 2. L’expression factorisée devient \(P(x) = 2(2x + 1).\) Remarquez le \(+ 1.\) Il ne faut pas se dire qu’on a retiré tout le second terme et qu’il reste 0 mais il faut retenir que \(2 = 2 × 1.\)
En seconde, on utilise davantage les formes factorisées que les formes développées car ce sont elles qui permettent de résoudre la plupart des équations et inéquations (voir l'exemple d'inéquation quotient).
Un dernier conseil avant les exercices : n’oubliez jamais les PARENTHÈSES. C’est l’erreur de méthode la plus courante.
Exercices de factorisation
Factoriser les polynômes suivants :
\(A(x) = (x + 2)^2 - (x + 2)(3x - 1)\)
\(B(x) = (2x + 10)(x - 1)\) \(+\) \((x + 5)^2\) \(-\) \((x + 5)(5x + 1)\)
\(C(x) = x^2 - 2x + 1 + (x - 1)(2x - 3)\)
\(D(x) = (x + 7)^2 - 9\)
\(E(x) = 4(x + 1)^2 - 9(-2x + 5)^2\)
\(F(x) = (x^2 - x) - (x - 1)^2\)
Corrigés
\(A(x)\) ne doit pas poser de grosses difficultés. Il faut juste se souvenir que \((x + 2)^2\) n’est autre que \((x + 2)(x + 2).\)
\(A(x)\) \(=\) \(( x + 2)[(x + 2) - (3x - 1)]\) \(=\) \((x + 2)(x + 2 - 3x + 1)\) \(=\) \((x + 2)(-2x + 3)\)
Notez l'usage des crochets qui sont des super parenthèses et qui rendent l'écriture plus lisible.
\(B(x)\) est une addition de trois expressions. Il faut donc détecter un même facteur trois fois. Il faut commencer par une première factorisation : \(2x + 10 = 2(x + 5)\)
\(B(x)\) \(=\) \(2(x + 5)(x - 1)\) \(+\) \((x + 5)^2\) \(-\) \((x + 5)(5x + 1)\)
\(B(x)\) \(=\) \((x + 5)[2(x - 1)\) \(+\) \((x + 5)\) \(–\) \((5x + 1)]\)
\(B(x)\) \(=\) \((x + 5)(2x - 2 + x + 5 - 5x - 1)\)
\(B(x) = (x + 5)(-2x + 2)\)
\(B(x) = 2(x + 5)(-x + 1)\)
La difficulté de factorisation de \(C(x)\) consiste à repérer l’identité remarquable développée.
\(C(x) = (x - 1)^2 + (x - 1)(2x - 3)\)
\(C(x) = (x - 1)[(x - 1) + (2x - 3)]\)
\(C(x) = (x - 1)(3x - 4)\)
Le polynôme \(D(x)\) apparaît comme une différence de deux carrés : \((x + 7)\) et 3. Il faut donc factoriser l’identité remarquable \(a^2 - b^2.\) Attention aux signes.
\(D(x) = (x + 7 + 3)(x + 7 - 3)\)
\(D(x) = (x + 10)(x + 4)\)
On recourt à la même identité pour factoriser \(E(x).\)
\(E(x)\) \(=\) \([2(x + 1) + 3(-2x + 5)]\)\([2(x + 1) - 3(-2x + 5)]\)
\(E(x)\) \(=\) \((2x + 2 - 6x + 15)\)\((2x + 2 + 6x - 15)\)
\(E(x)\) \(=\) \((-4x + 17)(8x - 13)\)
Aucune ruse nouvelle pour factoriser \(F(x).\)
\(F(x) = x(x - 1) - (x - 1)^2\)
\(F(x) = (x - 1)[x - (x - 1)]\)
\(F(x) = x - 1\)
Vérifications
Un moyen simple de vérifier ses calculs consiste à développer l’expression de l’énoncé et celle de notre forme factorisée. Retrouvons par exemple notre cher \(C(x).\) À partir de l’énoncé…
\(C(x)\) \(=\) \(x^2 - 2x + 1 + (x - 1)(2x - 3)\)
\(C(x) = x^2 - 2x + 1 + 2x^2 - 3x - 2x + 3\)
\(C(x) = 3x^2 - 7x + 4\)
Développons à présent la forme factorisée…
\(C(x) = (x - 1)(3x - 4)\)
\(C(x) = 3x^2 - 4x - 3x + 4\)
\(C(x) = 3x^2 - 7x + 4\)
Merveilleux.
