Les points remarquables d'une fonction

Le point commun entre l'étude d'une fonction numérique et un guide touristique, c’est la mise en exergue d’éléments remarquables. À tort ou à raison et malgré un goût certain pour les voyages, je n’ai pas créé de site web sur le tourisme mais sur les techniques quantitatives. J’en suis quitte pour vous indiquer les diverses curiosités à découvrir aux détours d’une courbe représentative d'une fonction, sachant que ce sont principalement les points de retournement qui sont intéressants (comme les extrémités des virages d’une route touristique peuvent offrir les meilleurs points de vue).

Minimum et maximum

Un extremum peut être un maximum ou un minimum, soit global, c’est-à-dire valable sur l’ensemble de définition, soit local, c’est-à-dire seulement au voisinage d’un point. Le maxi et le mini d’une fonction se notent max(f) et min(f). Voir les définitions en page notions sur les fonctions.

Tableau de variation

À l'instar des limites, ces points apparaissent sur le tableau de variation de la fonction. Ce dernier est un schéma de la courbe, synthétisée par des flèches croissantes et / ou décroissantes de même taille. Les valeurs maximales et minimales sont indiquées, un intervalle exclu de l’ensemble de définition est hachuré et un point non défini est représenté par un double trait. À titre d’exemple, le tableau de variation de la fonction logarithme ressemble à ceci (voir également la page asymptotes) :

NB : si l'on étudie une fonction périodique, ce tableau ne figure que pour une seule période. De même, si une fonction est paire ou impaire, on peut n'indiquer que la moitié de la fonction ou de la période.

Majorant et minorant

Un nombre réel majore une fonction lorsque toutes les valeurs qu'elle prend lui sont inférieures ou égales et inversement, il la minore si toutes les valeurs prises par cette fonction lui sont supérieures. Lorsqu’une fonction est à la fois minorée et majorée, elle est BORNÉE (voir aussi la page suites bornées).

La borne supérieure est le plus petit des majorants. C’est donc le maximum global, s’il existe. Réciproquement, la borne inférieure est le plus grand des éventuels minorants.

Rôle de la dérivée et de la dérivée seconde

On détermine un maximum ou un minimum en annulant la dérivée. Dans un plan muni d'un repère orthogonal, la tangente d’un extremum est parallèle à l’axe des abscisses.

Le point d’inflexion est un autre élément remarquable mais ce n’est pas un extremum. Graphiquement, on le repère lorsqu’une courbe croissante (ou décroissante) qui s’emballait se met à ralentir (ou inversement). En d'autres termes, elle passe de la concavité à la convexité ou inversement. Sur ce point, la tangente croise la courbe et la dérivée seconde est nulle (voir graphe en bas de page).

Le tableau de signes

Un tableau de signes est une présentation des intervalles sur lesquels une fonction est négative, nulle ou positive. Sur un intervalle donné, un signe « + » signifie que la courbe représentative de la fonction se situe au-dessus de l’axe des abscisses. Mais c'est surtout le signe d'une dérivée que l'on étudie afin de préparer le tableau de variation de la fonction. Ces deux tableaux sont alors réunis en un seul (voir page manipulation des logarithmes et exponentielles).

Exemple

La fonction suivante a été proposée au bac STT en 2005 (Polynésie). Les questions afférentes ne sont pas traitées ici.

La première question concernait les limites. On trouve moins l'infini lorqsue x tend vers moins l'infini et 0 lorsque x tend vers plus l'infini. Les explications figurent en page exercices sur les limites avec exponentielle.

Ensuite, on choisit l’une ou l’autre des expressions de f pour déterminer la dérivée. Optons pour la forme factorisée, avec u = 4 – x², donc u’ = -2x, et v = e^-0,5x, donc v’ = -0,5e^-0,5x.

f’(x) = uv’ + u’v = (4 – x²)[-0,5e^-0,5x] – 2x e^-0,5x. On place l’exponentielle en facteur.

L’étude du signe nécessite une FACTORISATION du trinôme. Le discriminant est égal à 8 et l’expression factorisée est la suivante :

Dans la mesure où l’exponentielle ne peut être égale à zéro, on sait que la dérivée ne s’annule qu'en deux points. Les valeurs approchées des extremums de la fonction ont pour abscisses -0,83 et 4,83. Le tableau de signes de f’(x) se présente ainsi :

La courbe représentative se dévoile ci-dessous. Le point A situe le maximum, le point B un minimum local tandis que les points C et D sont les points d’inflexion.