Les lieux remarquables d'une fonction

Le point commun entre l'étude d'une fonction numérique et un guide touristique, c’est la mise en exergue d’éléments remarquables. Comme ce site web ne traite pas du tourisme mais des techniques quantitatives, il ne vous indique que les diverses curiosités à découvrir aux détours d’une courbe représentative d'une fonction, sachant que ce sont principalement les points de retournement qui sont intéressants (comme les extrémités des virages d’une route touristique peuvent offrir les meilleurs points de vue).

Bornes de l'ensemble de définition

Les bornes de l'ensemble de définition peuvent être finies ou infinies. Les calculs de limites permettent de connaître le comportement ou la valeur prise par une fonction sur ces bornes.

Minimum et maximum

Un extremum peut être un maximum ou un minimum, soit global, c’est-à-dire sur l’ensemble de définition dans sa totalité, soit local, c’est-à-dire sur un intervalle donné ou au voisinage d'un point. Le maximum et le minimum d’une fonction se notent max(f) et min(f). Voir les définitions en page notions sur les fonctions.

On détermine un maximum ou un minimum en annulant la dérivée. Dans un plan muni d'un repère orthogonal, la tangente d’un extremum est parallèle à l’axe des abscisses.

Parfois, une simple connaissance de propriétés permet de se passer du calcul de la dérivée pour déterminer les coordonnées des extrêmes.

Points d'inflexion

Un point d’inflexion est un autre élément remarquable mais ce n’est pas un extremum. Graphiquement, on en repère un lorsqu’une courbe croissante (ou décroissante) qui s’emballait se met à ralentir (ou inversement). En d'autres termes, elle passe de la concavité à la convexité ou inversement.

Au point d'inflexion, la tangente croise la courbe et la dérivée seconde est nulle (voir la courbe en bas de page).

Tableau de variation

Les lieux remarquables d'une fonction numérique apparaissent sur son tableau de variation. C'est un schéma de la courbe, synthétisée par des flèches montantes et descendantes de même taille selon que la fonction est croissante, décroissante (ou constante) sur les intervalles indiqués sur le tableau. Les valeurs maximales et minimales sont mentionnées, un intervalle exclu de l’ensemble de définition est hachuré (ou grisé) et un lieu où la fonction n'est pas définie est représenté par un double trait. À titre d’exemple, le tableau de variation de la fonction logarithme ressemble à ceci (voir également la page asymptotes) :

Si l'on étudie une fonction périodique, ce tableau ne figure que pour une seule période. De même, si une fonction est paire ou impaire, on peut n'indiquer que la moitié de la fonction ou de la période.

Majorant et minorant

Majorants et minorants dépassent le cadre de la fonction elle-même.

Un nombre réel majore une fonction lorsque toutes les valeurs qu'elle prend lui sont inférieures ou égales et inversement, il la minore si toutes les valeurs prises par cette fonction lui sont supérieures. Lorsqu’une fonction est à la fois minorée et majorée, elle est BORNÉE (voir aussi la page suites bornées).

Le tableau de signes

Un tableau de signes est une présentation des intervalles sur lesquels une fonction est négative, nulle ou positive. Par exemple, sur un intervalle donné, un signe « + » signifie que la courbe représentative de la fonction se situe au-dessus de l’axe des abscisses. Mais c'est surtout le signe d'une dérivée que l'on étudie afin d'élaborer le tableau de variation de la fonction. Ces deux tableaux sont alors réunis en un seul (voir par exemple la page manipulation des logarithmes et exponentielles).

Exemple

La fonction suivante a été proposée au bac STT en 2005 (Polynésie). Les questions afférentes ne sont pas traitées ici.

La première question concernait les limites. On trouve moins l'infini lorqsue x tend vers moins l'infini et 0 lorsque x tend vers plus l'infini. Les explications figurent en page exercices sur les limites avec exponentielle.

Ensuite, on choisit l’une ou l’autre des expressions de f pour déterminer la dérivée. Optons pour la forme factorisée, avec u = 4 – x², donc u’ = -2x, et v = e^-0,5x, donc v’ = -0,5e^-0,5x.

f’(x) = uv’ + u’v = (4 – x²)[-0,5e^-0,5x] – 2x e^-0,5x. On place l’exponentielle en facteur.

L’étude du signe nécessite une FACTORISATION du trinôme. Le discriminant est égal à 8 et l’expression factorisée est la suivante :

Dans la mesure où l’exponentielle ne peut être égale à zéro, on sait que la dérivée ne s’annule qu'en deux valeurs. Arrondies à deux décimales, ce sont -0,83 et 4,83. Le tableau de signes de f’(x) se présente ainsi :

La courbe représentative se dévoile ci-dessous. Le point A situe le maximum, le point B un minimum local tandis que C et D sont les points d’inflexion.