Le point commun entre l'étude d'une fonction numérique et un guide touristique, c’est la mise en exergue d’éléments remarquables. À tort ou à raison et malgré un goût certain pour les voyages, je n’ai pas créé de site web sur le tourisme mais sur les techniques quantitatives. J’en suis quitte pour vous indiquer les diverses curiosités à découvrir aux détours d’une courbe représentative d'une fonction, sachant que ce sont principalement les points de retournement qui sont intéressants (comme les extrémités des virages d’une route touristique qui offrent les meilleurs points de vue).

Minimum et maximum

Alors là, inutile de se prendre la tête. Vous savez ce dont il s’agit depuis le lycée. Pour ceux qui roupillaient à côté du radiateur, je rappelle qu’un extremum peut être global, c’est-à-dire valable sur l’ensemble de définition, ou local, c’est-à-dire seulement au voisinage d’un point. Le maxi et le mini d’une fonction se notent max(f) et min(f).

Tableau de variation

À l'instar des limites, ces points apparaissent sur le tableau de variation de la fonction. Ce dernier est un schéma de la courbe, synthétisée par des flèches croissantes et / ou décroissantes de même taille. Les valeurs maximales et minimales sont indiquées, un intervalle exclu de l’ensemble de définition est hachuré et un point non défini est représenté par un double trait. À titre d’exemple, le tableau de variation de la fonction logarithme ressemble à ceci :

Voir également la page asymptotes.

NB : si l'on étudie une fonction périodique, ce tableau ne figure que pour une seule période. De même, si la fonction est paire ou impaire, on peut ne faire figurer que la moitié de la fonction (enfin, ça dépend à quel niveau d'études on se situe...)

Un nombre réel majore une fonction lorsque toutes les valeurs prises par cette fonction lui sont inférieures ou égales et inversement, il minore la fonction lorsque toutes les valeurs prises par cette fonction lui sont supérieures. Le graphe jaune et vert ci-dessus montre une fonction majorée mais non minorée. Lorsqu’une fonction est à la fois minorée et majorée, on dit qu’elle est BORNÉE (voir page suites).

Borne supérieure et borne inférieure

La borne supérieure est le plus petit des majorants, c’est-à-dire le maximum global (s’il existe) et réciproquement, la borne inférieure est le plus grand des éventuels minorants.

Rôle de la dérivée et de la dérivée seconde

On détermine un maximum ou un minimum en annulant la dérivée. Dans un plan orthogonal, la tangente d’un extremum est parallèle à l’axe des abscisses.

Un point d’inflexion est un autre élément remarquable de certaines fonctions mais ce n’est pas un extremum. Graphiquement, on le repère lorsqu’une fonction croissante (ou décroissante) qui s’emballait se met à ralentir (ou inversement). En d'autres termes, la courbe passe de la concavité à la convexité ou inversement. Sur ce point, la tangente croise la courbe et la dérivée seconde est nulle (voir graphe en bas de page).

Le tableau de signes

Un tableau de signes est une présentation des intervalles sur lesquels une fonction est négative, nulle ou positive. Un « + » signifie que la courbe représentative de la fonction se situe au-dessus de l’axe des abscisses. On l’emploie surtout pour les dérivées dans la mesure où, en l’absence de graphe, c’est le meilleur moyen de préparer le tableau de variation de la fonction. Ces deux tableaux sont alors réunis en un seul (voir page manipulation des logarithmes et exponentielles).

Exemple

La fonction suivante a été proposée au bac STT en 2005 (Polynésie). Les questions afférentes ne sont pas traitées ici.

La fonction est définie sur R. Par conséquent, on ne calcule les limites que sur l’infini.

En plus l’infini, la forme est indéterminée. Pour mettre sur la piste, l’énoncé donnait l’indication suivante :

Judicieusement, on transforme donc f(x) de la façon suivante :

En moins l’infini, la limite de la fonction exponentielle est égale à zéro. On en déduit que la limite lorsque notre fonction tend vers plus l’infini est égale à (4 × 0) – 0 = 0.

Ensuite, on choisit l’une ou l’autre des expressions de f pour déterminer la dérivée. Optons pour la forme factorisée, avec u = 4 – x², donc u’ = -2x, et v = e^-0,5x, donc v’ = -0,5e^-0,5x.

F’(x) = uv’ + u’v = (4 – x²)[-0,5e^-0,5x] – 2x e^-0,5x. On place l’exponentielle en facteur.

L’étude du signe nécessite une FACTORISATION du trinôme. Le discriminant est égal à 8 et l’expression factorisée est la suivante :

Dans la mesure où l’exponentielle ne peut être égale à zéro, on sait que la dérivée s’annule en deux points seulement. Les valeurs approchées des extremums de la fonction ont pour abscisses -0,83 et 4,83. Le tableau de signes de f’(x) se présente comme ceci :

La courbe représentative de la fonction se dévoile ci-dessous. Le point A situe le maximum, le point B un minimum local tandis que les points C et D sont les points d’inflexion.