Un exercice sur le second degré

Exercice corrigé sur fonction de degré 2

Vous êtes soit en seconde soit en première technologique (mais vous n’avez pas encore étudié la dérivation) et vous souhaitez vous exercer sur les fonctions du second degré ? Vous êtes sur la bonne page ! Vous y trouverez les types de questions classiques qui ne devraient plus vous poser de problème.

Note : il s’agit d’un exercice de résolution algébrique. Pour les résolutions graphiques, voir la page sur les résolutions graphiques d’équations et d’inéquations.

 

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 0,5(x – 2)(x + 4)\) et \({\mathscr{C}_f}\) sa courbe représentative.

1 – Vérifier que \(f\) peut s’écrire \(f(x) = 0,5x^2 + x – 4.\)

2 – En quel(s) point(s) \({\mathscr{C}_f}\) coupe-t-elle l’axe des abscisses ?

3 – Étudier le signe de \(f\).

4 – Déterminer les coordonnées du sommet de \({\mathscr{C}_f}.\)

5- Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = 0,5x^2\) et \({\mathscr{C}_g}\) sa courbe représentative. Pour quelles valeurs \({\mathscr{C}_f}\) est-elle au-dessus de \({\mathscr{C}_g}\) ? Vérifier la réponse en traçant les courbes dans un repère orthogonal (on prendra 50 comme valeur maximale des ordonnées).

 

Corrigé détaillé

1 – Exercice classique de réécriture de l’expression d’une fonction. L’énoncé donne la forme développée et la forme factorisée. Il est plus simple de partir de la factorisée pour arriver à la forme développée que l’inverse. D’ailleurs, l’opération ne serait pas faisable dans le cadre des programmes de seconde et des premières technologiques.

\(0,5(x – 2)(x + 4)\)

Il y a trois facteurs. Distribuons en deux étapes.

\((0,5x – 1)(x + 4)\)
\(= 0,5x^2 + 2x – x – 4\)
\(= 0,5x^2 + x – 4\)

2 – Pour déterminer en quel(s) point(s) \({\mathscr{C}_f}\) coupe éventuellement l’axe des abscisses, il faut utiliser la forme factorisée. \({\mathscr{C}_f}\) coupe l’axe des abscisses là où \(f(x) = 0.\)

\(0,5(x – 2)(x + 4) = 0\)

Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul. Nous sommes en présence de trois facteurs mais le premier, 0,5, n’est pas nul (ça se saurait...). Intéressons-nous aux deux autres.

\((x – 2)(x + 4) = 0\)
\(x – 2 = 0\) ou \(x + 4 = 0\)

D’où \(x = 2\) ou \(x = -4.\)

L’énoncé demandait des coordonnées de points. Il faut donc traduire ces résultats en coordonnées : la courbe \({\mathscr{C}_f}\) coupe l’axe des abscisses aux points de coordonnées \((0\, ;-4)\) et \((0\, ;2).\)

3 – Il y a deux façons de répondre à cette question.

La première consiste à dresser un tableau de signes à partir de la forme factorisée.

tableau de signes

\(f\) est négative sur l’intervalle \([-4\, ;2]\) et positive partout ailleurs.

La seconde repose sur le raisonnement suivant : \(x^2\) est affecté d’un coefficient positif (0,5). Donc graphiquement, la parabole représentative de \(f\) descend puis remonte. Nous avons vu qu’elle traverse l’axe des abscisses en -4 et en 2. Donc \(f\) est positive sur \(]-∞\, ;-4]\) et sur \([2\, ;+∞[\) et négative sur \([-4\, ;2].\)

4 – Il ressort de la remarque ci-dessus que le sommet de \({\mathscr{C}_f}\) est un minimum. Nous savons que la parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. Donc il est atteint pour la valeur de \(x\) qui est à égale distance de -4 et de 2. Calculons la moyenne : \(\frac{-4 + 2}{2} = -1.\)

L’abscisse cherchée est -1. Là encore, l’énoncé demande les coordonnées d’un point. On calcule \(f(-1)\) soit à partir de la forme développée soit à partir de la factorisée et on trouve -4,5.

Donc le point recherché à pour coordonnées \((-1\, ;-4,5).\)

5 - \({\mathscr{C}_f}\) est au-dessus de \({\mathscr{C}_g}\) lorsque la différence \(f(x) – g(x)\) est positive.

On écrit : \(0,5x^2 + x – 4 – 05x^2 > 0\)  (il est plus pratique d’employer la forme développée de \(f\)).

Donc \(x – 4 > 0\)
\(⇔ x > 4\)

\(S = ]4\, ;+∞[\)

Ci-dessous, les courbes ont été tracées avec GeoGebra. On vérifie que l’abscisse du point d’intersection est bien 4 et qu’au-delà, \({\mathscr{C}_f}\) est au-dessus de \({\mathscr{C}_g}.\) On devine aussi que le minimum de \(f\) est -1, comme nous l'avons établi.

courbes
L’astuce du jour : avec GeoGebra, pour que les noms des courbes apparaissent automatiquement, le plus simple est de les entrer dans la barre de saisie.

barre de saisie