Trois exercices avec fonction sinus

Exercices avec fonctions composées de la fonction sinus

Trois exercices de niveau terminale S à partir de la fonction sinus

Exercice 1

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = |sin x|

1- Étudier la parité de f.

2- Montrer que f est π-périodique.

3- Tracer la représentation graphique de f.

Exercice 2

Soit la fonction f définie sur R

3sin(4x+(pi/6))

1- Démontrer que f est périodique de période π / 2.

2- Calculer la dérivée de f.

3- Étudier le signe de f’ et les variations de f sur l'intervalle [0 ; π / 2].

Exercice 3

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 3sin(x) – 2x

Calculer

limite

Sachant que…

limite en 0 sinus x /x  = 1

Corrigé 1

1- f(-x) = |sin(-x)| = |-sin x| pour tout réel x car la fonction sinus est impaire.

Par propriété de la valeur absolue, |-sin x| = |sin x|.

Donc f(-x) = f(x). La fonction f est paire.

2- Pour tout réel x, f(x + π) = |sin(x + π)| = |-sin x| par propriété de la fonction sinus.

|-sin x| = |sin x| = f(x)

La fonction f est π-périodique.

3- Le tracé avec GeoGebra :

courbe

Bravo, vous avez modélisé une puce qui saute.

Corrigé 2

1-

f(x+pi/2)

2- Rappelons que (sin u(x))’ = u’(x) cos u(x).

Donc :

f'(x)=12cos(4x+(pi/4))

3- Déterminons pour quelle(s) valeur(s) f’ s’annule. Nous savons que cos (π / 2) = 0 et cos (-π / 2) = 0. Nous posons donc :

étape 1

étape 2

étape 3

étape 4

Sur [0 ; π / 2] nous avons…

étape 5

Nous devons donc étudier le signe de f’ sur trois intervalles. D’abord, sur [0 ; π / 12]. Remarquez qu’il est inutile de nous encombrer du facteur 12 qui ne change rien au signe et encadrons x :

Si 0  x  π / 12, alors

encadrement

encadrement

Encadrons à présent le cosinus de notre expression. On connaît les valeurs de cos (π / 2) et de cos (π / 6) (voir la page trigonométrie) :

encadrement

Nous en concluons que f’  0 sur [0 ; π / 12] et donc que f est croissante sur cet intervalle.

De même vous pouvez établir que f est décroissante sur [π / 12 ; π / 3] puis croissante sur [π / 3 ; π / 2].

Corrigé 3

f(x)/x

Donc :

limite=1