Il n’est pas question de produire ici un cours sur la dérivation mais juste de rappeler quelques principes fondamentaux. Et d’abord, LA question : ça sert à quoi ?

Restons dans le domaine économique : nous sommes en présence d’une fonction (VaR, prévisions de ventes…) car votre ordinateur vous a fort obligeamment transformé des données observées ou prévues en formule algébrique. Et là, en un point donné (qui peut correspondre à « aujourd’hui » sur une série temporelle, par exemple), vous souhaitez connaître la « vitesse » à laquelle cette courbe est en train d’évoluer. Cette vitesse est visible si l’on trace la courbe sur un repère, non seulement en observant la courbe elle-même mais aussi la tangente en ce point, dont le coefficient directeur n'est autre que la dérivée en ce point. L'évolution, visualisable sur le graphe, devient mesurable.

Au-delà d'un point particulier, on peut dériver une fonction entière pour mesurer son évolution en chaque point dérivable. La dérivée s’écrit f’ ou df / dx.

Taux d’accroissement et dérivabilité

Le taux d’accroissement au point a se définit comme suit :

Pour vérifier que la fonction est dérivable en a, il ne suffit pas de calculer f’(a) : on doit vérifier que son taux d’accroissement admet une limite finie en a. Cette limite est le nombre dérivé de f en a, c'est-à-dire f’(a).

En effet, si une fonction dérivable en un point est forcément continue sur ce point, l’inverse n’est pas toujours vrai (points « anguleux »). L’exemple habituellement donné est celui de la fonction f(x) = |x|. La limite de [(f(x) – f(0)] / (x – 0) est égale à 1 sur 0⁺ et à -1 sur 0^-. La fonction n’est donc pas dérivable en 0 mais elle l’est à droite et à gauche.

Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle l’est pour chacune de ses valeurs.

À savoir absolument : si la dérivée est positive sur un intervalle, la fonction est croissante et inversement si elle est négative. La dérivée nulle en un point indique que la fonction montre ici un extremum (minimum ou maximum).

Fonctions dérivées

La dérivée d’un simple nombre est égale à zéro. Si l’on trace y = 2 sur un repère, on obtient une droite horizontale et la tangente, confondue avec la droite, n’a aucune pente.

La dérivée d’une fonction affine y = ax ou ax + b est égale à a. Dans ce cas aussi, il est évident que la tangente ne peut pas effleurer la droite et qu’elle est confondue avec elle. Sa pente est égale à a, c’est-à-dire que si l’on augmente x de 1, on augmente y de a.

Les dérivées usuelles sont les suivantes :

Opérations sur les fonctions dérivables (u et v sont des expressions numériques avec x) :

Ces formules se retrouvent avec celle de la dérivation des fonctions composées. Quelques applications existent sur ce site, notamment en page exemples de dérivées de fonctions trigonométriques.

La dérivée peut à son tour être dérivée (voir page dérivées successives).

Le cheminement inverse de la dérivation consiste à déterminer des primitives.

Si l'on sait entre quelles valeurs se situe une dérivée, on peut parfois déterminer une "zone" dans laquelle se situe la fonction (voir inégalité des accroissements finis).

Applications

En statistiques, la dérivée d’une fonction de répartition est une fonction de densité. Mais le calcul des dérivées ne fait pas partie du quotidien d’un statisticien…

L’élasticité d’une fonction, particulièrement utile dans la fonction marketing pour déterminer les prix, est fondée sur la notion de dérivée (voir aussi la page élasticité-prix).

La dérivée d’une fonction de coût total est une fonction de coût marginal. Si le coût total est la somme de deux fonctions de coût qui varient en sens inverse, on s'aperçoit qu'il est au plus bas là où ces deux fonctions s'égalisent. C'est ici que la dérivée de la fonction de coût total s'annule (voir coûts des stocks).

Les mathématiques financières utilisent beaucoup les dérivées mais rarement dans le cadre de fonctions à une seule variable.

D’une manière plus générale, les démonstrations visant à établir des minimaux ou des maximaux s’appuient sur l’annulation de dérivées. Ce type de démonstration est omniprésent dans les manuels de statistiques (exemple en page dérivée partielle).