Vous connaissez certainement les bienfaits de la dérivation d’une fonction numérique. Mais qu’en est-il d’une dérivée de dérivée, qu’on dérive éventuellement à son tour et ainsi de suite ? Pour un aperçu du sujet, je ne peux que vous conseiller de poursuivre la lecture de cette page introductive  aux dérivées successives d’une fonction à une variable…

La dérivée d’une dérivée f’ se note f’’ (se lit f seconde de x) et nous renseigne sur la convexité d’une courbe. Lorsque f '’(x) > 0, la courbe est concave, quand f’’(x) < 0 elle est convexe (ces notions s’apprécient en regardant la courbe depuis le « haut »). La dérivée seconde s’annule sur les points d’inflexion (exemple en page extremums).

La dérivée troisième donne une indication sur la pente de la dérivée seconde, et ainsi de suite.

Une fonction dérivable jusqu’à l’ordre n est dite de classe Cⁿ.

Certaines fonctions sont dérivables indéfiniment. Dans la mesure où la fonction exponentielle est sa propre dérivée, elle constitue un exemple de choix de dérivation infinie…

Mentionnons également :

Si deux fonctions sont de classe Cⁿ, leur somme est aussi de cette même classe.

Quant au produit, il peut se découvrir à l’aide du théorème de Leibniz, qui constitue une application particulière du binôme de Newton. La formule est la suivante :

Évidemment, si l’un des deux termes est de classe p, notre somme ne sera constituée que de p + 1 termes puisque les suivants seront nuls…

Exemple :

Dérivons à tour de bras la fonction f(x) = xe^x.

Utilisons d’abord la technique « lycéenne ». Nous sommes en présence d’une forme f(x) = uv et donc f’(x) = u’v + v’u. Il n’est pas difficile de découvrir que f’(x) = (x + 1)e^x, puis que f’’(x) = (x + 2)e^x et par récurrence f⁽ⁿ⁾(x) = (x + n)e^x.

Retrouvons ce même résultat avec la formule de Leibniz. Si e^x est dérivable indéfiniment, il n’en est pas ainsi de x qui ne peut être dérivé qu’une fois. Notre formule sera donc la somme de deux termes seulement.

Je ne peux pas clore ce petit aperçu sans mentionner le rôle majeur des dérivations successives dans les mathématiques, appliquées ou non. Ainsi, les équations différentielles constituent un immense champ d’étude dans les domaines les plus divers. Il s’agit d’égalités dans lesquelles interviennent fonctions et dérivées successives.