L’analyse mathématique est un outil épatant pour modéliser des liaisons, tant en micro qu’en macro-économie. Oui mais voilà, nos chères fonctions d’une seule variable qui répondent généralement au nom si poétique de f se déclarent incompétentes lorsque PLUSIEURS liaisons entrent significativement en jeu…

J’introduis ici les fonctions de deux variables. Deux, c’est sans doute peu pour modéliser un phénomène économique, mais ça n’est déjà pas si mal. Ça permet d’introduire des utilisations aussi diverses que des fonctions de production ou la théorie du portefeuille.

Une fonction de deux variables est dérivée par une seule d’entre elles, au contraire des différentielles qui étudient les variations conjointes.

Le calcul d’une dérivée partielle implique qu’on FIXE l’une des deux variables, qui dès lors devient une constante. Soit f(x,y) définie au voisinage du point z (x₀,y₀). Que se passe-t-il si l’on augmente x₀ de Δx ? Réponse : un accroissement partiel. Nul besoin de beaucoup réfléchir pour en déduire cette écriture :

... et inversement, si l’on dérive la fonction par rapport à y. Le « D rond » est le symbole de la dérivée partielle. Ne pas confondre avec le delta minuscule et ne pas assimiler cette écriture à une fraction !

Exemple simple : f(x,y) = x² ln y. La dérivée par rapport à x est 2x ln y et la dérivée par rapport à y est x² / y.

Autre exemple avec dérivation de fonction logarithme :

Le premier réflexe est de réécrire cette fonction sous une forme qui se prête plus volontiers à la dérivation.

Voilà qui est mieux. Rappelons que ce tour de passe-passe a été rendu possible par les propriétés des logarithmes et par le fait que l’inverse d’une racine carrée équivaut à une puissance - ½ (c’est du niveau « lycée »). Si l’on souhaite dériver la fonction par rapport à x, le calcul ne pose aucune difficulté et là encore, bien que les fonctions de 2 variables ne soient pas à leur programme, les élèves de terminale de la plupart des filières ont la compétence pour le faire :

Le tour est (déjà) joué.

Autre exemple : la recherche d’un minimum. Il s’agit de trouver les paramètres d’une droite des moindres carrés (régression linéaire simple), qui est une fonction affine.

Les n points M(x_i , y_i) étant projetés sur une droite, leurs projections ont bien sûr pour coordonnées H(x_i , ax_i + b). Appelons S la somme des carrés des écarts par rapport à cette droite. Le but du jeu est de la minimiser, donc de savoir où elle s’annule par rapport à a et à b (on ne s’assurera pas ici qu’il ne s’agit pas d’un maximum).

Occupons-nous du b. La dérivée d’une forme u² est 2u’u et en l’occurrence u’ = -1 puisque -ax + y est une constante. Donc :

La suite de la démonstration est encore plus simple. On élimine -2 vu que c’est forcément la partie « somme » qui sera égale à 0. Puis on décompose cette dernière. Comme b est une constante, la somme de 1 à n de b est tout simplement nb.

On isole nb puis on divise tout par n. La division d’une somme par n est bien sûr une moyenne arithmétique. Mission accomplie :

Passons au a, coefficient directeur de la droite. À partir de la première formule, on remplace b par l’expression qu’on vient de trouver.

Le développement de cette identité remarquable a des airs effrayants, comme ça, mais la dérivation sera plus simple :

Entrons dans le vif du sujet (expression curieuse, comme si nous étions auparavant dans sa mort…)

On laisse tomber le dernier élément de la somme qui, par rapport à a, est une constante. La dérivée apparaît dans toute sa splendeur :

-

Isolons a :

On simplifie en ôtant les 2 puis on divise numérateur et dénominateur par n afin de faire apparaître l’expression de la covariance et celle de la variance de x. On a ainsi obtenu l’expression des paramètres d’une droite des moindres carrés.

NB : malgré un choix très large d’ouvrages traitant des dérivées partielles, je me suis surtout inspiré des notations et présentations de « Maths pour économistes » (O. Ferrier), éd. De Boeck. J’affectionne particulièrement ce livre d’analyse pour sa clarté.