La continuité d'une fonction

Continuité et prolongement par continuité

Note préalable : pour les élèves de terminale ES et terminale S, voir plutôt la page continuité et TVI.

En pratique, les fonctions numériques étudiées par les statisticiens et les prévisionnistes ne laissent pas de doute mathématique quant à leur continuité… Le doute réside plutôt dans le choix d'étudier une fonction continue ou une suite (à quel niveau de finesse considère-t-on qu'une évolution est discrète ? Une observation par an ? Par jour ? Par heure ?).

L’intérêt de l’étude de continuité est surtout de s’assurer de l’existence d’une solution sur un intervalle donné.

Présentation

La continuité s'appréhende intuitivement. Si l’on trace une courbe représentative d’une fonction sans « lever le stylo », il y a continuité (hormis quelques cas subtils dont l’étude nous entraînerait un peu trop loin). Les fonctions en escaliers constituent un évident exemple de non-continuité (voir les illustrations des parties entières).

Mais on n'a pas toujours la représentation graphique d'une fonction sous les yeux !

Plus précisément, une fonction numérique f est continue en un point a si...

  • f est définie en a
  • lim f(x) existe lorsque x tend vers a
  • lim f(x) = f(a) lorsque x tend vers a

Une fonction est continue sur un intervalle ouvert si elle l'est sur tous les points de cet intervalle.

De même qu'une limite peut se calculer à gauche et à droite d'un réel, la continuité peut être vérifiée de part et d'autre d'un point. Ainsi, la fonction représentée par la courbe ci-dessous et pour laquelle f(1) = 1 montre une continuité à droite mais pas à gauche. Cette fonction n'est pas continue en 1 mais elle le serait si elle n'était pas définie sur ]- ; 1[ (tout comme la fonction racine carrée est continue en 0).

continuité à droite

Donc attention, sur un intervalle fermé I = [a ; b], une fonction est continue sur ]a ; b[, continue à droite en a et continue à gauche en b.

Le voisinage

Il existe une définition plus féconde bien qu'à première vue un peu alambiquée.

Il y a continuité au voisinage de a si, pour tout réel ε > 0 (en fait très petit), il existe un réel η (êta) tel que |x – a| < η ⇒ |f(x) – f(a)| < ε. Cette définition, dite de Cauchy, est déjà moins intuitive.

Détaillons le mécanisme de la continuité à droite sur la fonction carré f(x) = x² pour a = 3. Il ne s'agit pas d'une résolution d'exercice en bonne et due forme mais d'une tentative pour rendre la formule de définition un peu plus claire. Supposons d'abord ε = 1. Il existe bien un réel η, par exemple 0,08, qui vérifie la formule (pour trouver un η candidat, il suffit de choisir f(x) dans l'intervalle ouvert ]3² ; 3² + 1[, soit ]9 ; 10[. Le réel 9,5 fera l'affaire. La racine de 9,5 vaut environ x = 3,08. Bref, |x – a| = 0,08. Donc, |– 3| < 0,08 ⇒ |f(x) – 9| < 1). Si ensuite on diminue notre ε pour obtenir un réel infiniment petit, on trouvera toujours un η pour vérifier la formule... La fonction est donc bien continue à droite de a (comme d'ailleurs au voisinage de tous les autres points).

Si une fonction est dérivable en un point, il y a continuité. L’inverse ne se vérifie pas toujours. Illustration avec continuité mais sans dérivabilité en 1 (point anguleux) :

continuité sans dérivabilité

Propriétés

Les fonctions usuelles sont pour la plupart continues sur R (carré, exponentielle, sinus et cosinus…) ainsi que les fonctions polynomiales. Les fonctions racines et logarithmes sont également continues, mais sur des ensembles de définition plus restreints.

L’addition et la multiplication de fonctions continues produisent aussi des fonctions continues. Un quotient ou une composition également mais il faut bien vérifier l’ensemble de définition.

La réciproque d’une fonction continue l’est elle aussi.

Un théorème essentiel stipule qu’une fonction continue sur le segment [a ; b] est bornée et atteint ces bornes (cas particulier du théorème de Heine).

Un autre théorème qui suppose la continuité et qui, intuitivement, paraît lui aussi évident est celui des valeurs intermédiaires, enseigné en terminale.

Enfin, une fonction se doit d'être continue sur un intervalle donné pour admettre des primitives.

Prolongement par continuité

Si une fonction n’est pas définie en un point mais qu’elle l’est à gauche, ou à droite, ou des deux côtés avec une interpolation possible, on peut alors décider de fixer la valeur manquante. Par exemple, on pose :

prolongement par continuité

On voit bien que, sans ajouter f(0) = 0, la fonction ne serait pas définie sur cette valeur. Or, la limite de f autour de zéro est égale à zéro. Il serait parfaitement regrettable de ne pas prolonger la continuité (voir ci-dessous, réalisation sur Sine qua non).

exemple continuité

En statistiques, on procède souvent à une correction de continuité, du moins chaque fois qu'une loi de probabilité discrète est approchée par une loi continue (par exemple une loi normale remplaçant une loi binomiale lorsque l'effectif est important ou une loi de Poisson lorsque le paramètre lambda est supérieur à 20 environ).

Continuité par morceaux

Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle I si elle est continue sur tous les sous-intervalles ouverts de I et que les limites de cette fonction, à gauche et à droite de I, sont finies.

La courbe ci-dessous illustre une fonction de grande bizarrerie, continue par morceaux sur [A ; B].

continuité par morceaux

 

continuité