Une page qui vient ici pour mémoire car les fonctions numériques étudiées par les statisticiens et les prévisionnistes ne laissent pas de doute mathématique quant à leur continuité… Le doute réside plutôt dans le choix d'étudier une fonction continue ou une suite (à quel niveau considère-t-on qu'une évolution est discrète ? Une observation par an ? Par jour ? Par heure ?).

L’intérêt de l’étude de continuité est surtout de s’assurer de l’existence d’une solution sur un intervalle donné. Le concept se comprend aisément. Si l’on trace une courbe représentative d’une fonction sans « lever le stylo », il y a continuité (hormis quelques cas subtils dont l’étude nous entraînerait un peu trop loin des statistiques). Les fonctions en escaliers constituent un évident contre-exemple.

Au lycée, on apprend que la fonction f est continue au POINT d'abscisse a si sa limite lorsque x tend vers a est égale à f(a), et qu’elle est continue sur un INTERVALLE à condition d’être continue sur tous les points de cet intervalle.

Au début des études supérieures, on voit une définition certes plus féconde mais tout de même un peu alambiquée. Une fonction, définie au voisinage de a, est continue en a si elle tend vers la limite f(a) lorsque x tend vers a. Ou encore, pour tout ε > 0 (en fait très petit), il existe un réel η (êta) tel que |x – a| < η ⇒ |f(x) – f(a)| < ε. Cette définition, dite de Cauchy, est déjà moins intuitive.

Détaillons son mécanisme sur la continuité à droite de la foncion f(x) = x² au point d'abscisse a = 3. Il ne s'agit pas d'une résolution d'exercice en bonne et due forme mais d'une tentative pour rendre la formule de définition un peu plus claire. Supposons d'abord ε = 1. Il existe bien un réel η, par exemple 0,08, qui vérifie la formule (pour trouver un η candidat, il suffit de choisir f(x) dans l'intervalle ouvert ]3² ; 3² + 1[, soit ]9 ; 10[. Le réel 9,5 fera l'affaire. La racine de 9,5 vaut environ x = 3,08. Ainsi, |x – a| = 0,08. Donc, |x – 3| < 0,08 ⇒ |f(x) – 9| < 1). Si ensuite on diminue notre ε pour obtenir un réel infiniment petit, on trouvera toujours un η pour vérifier la formule... La fonction est donc bien continue à droite du point d'abscisse 3 (comme d'ailleurs au voisinage de tous les autres points).

Si la fonction est dérivable en un point donné, il y a forcément continuité. L’inverse ne se vérifie pas toujours.

Les fonctions usuelles sont pour la plupart continues sur R (polynôme, exponentielle, sinus et cosinus…). Les fonctions rationnelles, racines et logarithmes sont également continues, mais sur un domaine de définition plus restreint que R.

L’addition et la multiplication de fonctions continues produisent également des fonctions continues. Un quotient ou une composition également mais il faut bien vérifier l’ensemble de définition.

La réciproque d’une fonction continue l’est également.

Un théorème essentiel stipule qu’une fonction continue sur le segment [a ; b] est bornée et atteint ces bornes (cas particulier du théorème de Heine).

Un autre théorème qui suppose la continuité et qui, intuitivement, paraît lui aussi évident, est celui des valeurs intermédiaires.

Le prolongement par continuité : si une fonction n’est pas définie en un point mais qu’elle l’est à gauche, ou à droite, ou des deux côtés avec une interpolation possible de sa courbe représentative, on peut alors décider de fixer la valeur manquante. Par exemple, on pose :

On voit bien que, sans ajouter f(0) = 0, la fonction ne serait pas définie sur cette valeur. Or, la limite de f(x) autour de zéro est égale à zéro. Il serait parfaitement regrettable de ne pas prolonger la continuité (voir ci-dessous, réalisation sur Sine qua non).

En statistiques, on procède souvent à une correction de continuité, du moins chaque fois qu'une loi discrète est approximée par une loi continue (par exemple une loi normale remplaçant une loi binomiale lorsque l'effectif est important ou une loi de Poisson lorsque le paramètre lambda est supérieur à 20 environ).

Enfin, une fonction se doit d'être continue pour admettre des primitives.

Continuité par morceaux

Une fonction est continue par morceaux sur un intervalle I si elle est continue sur tous les sous-intervalles ouverts de I et que les limites de cette fonction, à gauche et à droite de I, sont finies.

La courbe ci-dessous illustre une fonction de grande bizarrerie, continue par morceaux sur [A ; B].