Techniques et concepts de l'entreprise, de la finance et de l'économie 
(et fondements mathématiques)

Les compositions de fonctions

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Fonctions composées et idempotence

Avertissement : si vous êtes en terminale S, cette page sera en grande partie hors programme et il vaut mieux vous diriger vers les pages composition des limites et dérivée de g(x) = f(ax + b).

Les fonctions f et g ont la joie de vous faire part de la naissance de h.

Soient g et f deux applications. On appelle fonction composée de f suivie de g la fonction h telle que :

composition

On lit « g rond f ».

La composition est associative mais ni commutative (g o f ≠ f o g) ni distributive, à moins de tomber sur l’oiseau rare.

Exemple : si f(x) = 2+ 3 et g(x) = x², alors (f o g)(x) = 2x² + 3 et (g o f)(x) = (2x + 3)². Pour faire court, il suffit de remplacer le x de la première par l’expression de la deuxième et de déterminer l'ensemble de définition.

Ce dernier point est crucial. Il est tout à fait possible que f o g existe mais pas g o f... Si f est l’application de R+* dans R ln(x) et que g(x) = -x, la composition (g o f)(x) = -ln (x) ne pose pas de problème, contrairement à (f o g)(x) = ln (-x) qui n’est définie que pour R-*.

La composition est associative :o (g o h) = (f o g) o h. Une composée d'injections est injective, une composée de surjections est surjective et, bravo parce que vous l'aviez deviné, une composée de bijections est bijective.

Si des fonctions sont continues en un point, leur composée y est également continue.

Le sens de variation fonctionne comme les multiplications de signes + et –. Si f et g sont toutes deux croissantes ou décroissantes, h est croissante. Si elles ont des sens de variation différents, h est décroissante. Prenons l’exemple, sur R+*, de la fonction inverse, qui est décroissante, et de la fonction logarithme, qui est croissante. Que l’on compose ces fonctions d’une façon ou d’une autre, c’est-à-dire h(x) = 1 / ln (x) avec x ≠ 1 ou l(x) = ln (1 / x), on obtient une fonction décroissante. La preuve en image (avec h(x) en rouge et l(x) en bleu) :

f o g et g o f

Notez bien qu’une fonction peut se composer avec elle-même. On parle alors de puissance fonctionnelle et il est alors commode d’opter pour une autre notation, avec un exposant. Par exemple, f o f o f s’écrit aussi f ³.

Mais qu’on ne confonde pas la fonction réciproque avec une puissance fonctionnelle… Tiens, justement, la réciproque d’une composée : (g o f)-1 = f -1 o g -1.

Évoquons à présent le calcul des limites. Le théorème est le suivant :

théorème de composition de limites

Il est toutefois fréquent d’utiliser ce théorème de façon plus ou moins intuitive. Si g est la fonction inverse et f est la fonction carrée, il est évident que g o f, c’est-à-dire 1 / x²,  tend vers zéro lorsque x tend vers plus l’infini. Mais bon, on peut aussi dire que la limite à l’infini de g est égale à zéro, que la limite en zéro de la fonction carré est aussi égale à zéro et donc que la limite à l’infini de la fonction composée est zéro. Si vous suivez tout ça sur la formule du théorème, vous avez compris que a est « plus l’infini » et que b et c sont égaux à zéro.

Quant à la dérivée d’une fonction composée, elle se calcule ainsi : (f o g)’ = f’(g) × g’.

En général, les lycéens apprennent par cœur les formules de dérivées sans faire explicitement référence à cette identité commune à toutes les fonctions composées qui conduit à des calculs laborieux.

Idempotence

Si f o f = f, l'application mérite le qualificatif d'idempotente. La multiplication par 1 et l'addition d'un zéro sont idempotentes.

Exercice 1

La courbe représentative de g est la noire, celle de f est la rouge (réalisation sur Geogebra). Déterminez graphiquement l’image de 2 par f o g.

composées

Solution : on remarque que l’image de 2 par f est 4. Il suffit alors de chercher l’image de 4 par g (point A). On trouve 1,4 environ.

Vérification : la courbe bleue est celle de f o g. Nous constatons que f o g(2) avoisine 1,4.

Exercice 2

On a trouvé par hasard deux tableaux de variations.

2 tableaux de variations

Quel est le domaine de définition de h = f ?

Réponse : c’est ]-∞ ; 2[ U ]4 ; +∞[. En effet, g(x) n’existe que si x > 0. Donc h n’est définie que si f est strictement positive, ce qui est le cas partout sauf entre 2 et 4.

 

idempotence

 

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