Les fonctions f et g ont la joie de vous faire part de la naissance de h.

Soient g et f deux applications. On appelle fonction composée de f suivie de g la fonction h telle que :

On lit « g rond f ».

La composition est transitive mais ni commutative (g o f ≠ f o g) ni distributive, à moins de tomber sur l’oiseau rare.

Exemple : si f(x) = 2x + 3 et g(x) = x², alors (f o g)(x) = 2x² + 3 et (g o f)(x) = (2x + 3)². Pour faire court, il suffit de remplacer le x de la première par l’expression de la deuxième en précisant le domaine de définition.

Ce dernier point est crucial. Il est tout à fait possible que f o g existe mais pas g o f... Si f est l’application de R⁺* dans R ln(x) et que g(x) = -x, la composition (g o f)(x) = -ln (x) ne pose pas de problème, contrairement à (f o g)(x) = ln (-x) qui n’est définie que pour R^-*.

Si des fonctions sont continues en un point, leur composée y est également continue.

Le sens de variation fonctionne comme les multiplications de signes + et –. Si f et g sont toutes deux croissantes ou décroissantes, h est croissante. Si elles ont des sens de variation différents, h est décroissante. Prenons l’exemple, sur R⁺*, de la fonction inverse, qui est décroissante, et de la fonction logarithme, qui est croissante. Que l’on compose ces fonctions d’une façon ou d’une autre, c’est-à-dire h(x) = 1 / ln (x) avec x ≠ 1 ou l(x) = ln (1 / x), on obtient forcément une fonction décroissante. La preuve en image (avec h(x) en rouge et l(x) en bleu) :

Notez bien qu’une fonction peut se composer avec elle-même. On parle alors de puissance fonctionnelle et il est alors commode d’opter pour une autre notation, avec un exposant. Par exemple, f o f o f s’écrit aussi f ³.

Mais qu’on ne confonde pas la fonction réciproque avec une puissance fonctionnelle… Tiens, justement, la réciproque d’une composée : (g o f)^-1 = f ^-1 o g ^-1.

Évoquons à présent le calcul des limites. Le théorème est le suivant :

Il est toutefois fréquent d’utiliser ce théorème de façon plus ou moins intuitive. Si g(x) est la fonction inverse et f(x) est la fonction carrée, il est évident que g o f, c’est-à-dire 1 / x²,  tend vers zéro lorsque x tend vers plus l’infini. Mais bon, on peut aussi dire que la limite à l’infini de g(x) est égale à zéro, que la limite en zéro de la fonction carrée est aussi égale à zéro et donc que la limite à l’infini de la fonction composée est zéro. Si vous suivez tout ça sur la formule du théorème, vous avez compris que a est « plus l’infini » et que b et c sont égaux à zéro.

Quant à la dérivée d’une fonction composée, elle se calcule ainsi : (f o g)’ = f’(g) × g’.

En général, les lycéens apprennent par cœur des formules de dérivée sans faire explicitement référence à cette identité commune à toutes les fonctions composées.

Idempotence

Si f o f = f, l'application mérite le qualificatif d'idempotente. La multiplication par 1 et l'addition d'un zéro sont idempotentes.

Exercice

La courbe représentative de g est la noire, celle de f est la rouge (réalisation sur Geogebra). Déterminez graphiquement l’image de 2 par f o g.

Solution : on remarque que l’image de 2 par f est 4. Il suffit alors de chercher l’image de 4 par g (point A). On trouve 1,4 environ.

Vérification : la courbe bleue est celle de f o g. On voit bien que f o g(2) avoisine 1,4.